258 Clemens Scliaefer: 



Grundsätzlich fallen damit die Konsequenzen, die Frank 

 aus seiner Gleichung- für die Konstruktion von Manometern gezogen 

 hat. Ich sage grundsätzlich deshalb, weil ich die Möglichkeit 

 nicht leugnen will , dass annähernd die Lösung von Gleichung (13) 

 mit derjenigen von (10) übereinstimmt. In Strenge ist dies nicht 

 der Fall, und der Nachweis, dass annähernd seine Resultate vielleicht 

 bestehen bleiben können, ist natürlich Sache von Frank. Ich be- 

 gnüge mich hier mit dem Nachweise, dass die mit so grosser Zu- 

 versichtlichkeit von Frank aufgestellten Behauptungen mit Reserve 

 aufzunehmen sind. 



Die Differentialgleichung (13) hat folgende Gestalt: 



oder, wenn wir in Zukunft die Differentiationen durch Striche be- 

 zeichnen: 



Ä.r" -h C:r = 2B (xx' -]-^x'^) .... (14) 



Diese Differentialgleichung tritt, nebenbei bemerkt, auch auf 

 bei den Schwingungen einer Flüssigkeit in einer U-förmigen Röhre 

 mit ungleichem Querschnitt in beiden Schenkeln ^). 



Gleichung (13) lässt sich nicht in geschlossener Form integrieren, 

 sondern liefert eine unendliche Reihe von trigonometrischen Funktionen. 

 Da diese Differentialgleichung in mancher Hinsicht von Interesse ist, 

 so deute ich im folgenden den Gang der Integration an. Bezeichnen 

 wir die Anfangsampiitude mit c, und setzen fest, dass für 



< = : a; = c und x' = sein soll . . . (15) 

 so lässt sich nach einem von P o i n c a r e ^) bewiesenen Satze x in 

 eine Potenzreihe von c entwickeln, die für hinreichend kleine Werte 

 von \c\ konvergent ist: 



X = ccp,(t) + c->2(0 + c'(Ps(t) +■■'■. . (16) 



Setzt man diese Reihe ein, so folgt: 

 Ä{ccf," -^ c'-(f," + ■ ■ •} + C(c^-i + c2,^2+ • • •} = 



2B{ c^'cp^fpi" + c^cp2(fi" + (fi(f'2") + • • • } 



+ E{c2/-/)/2 + 2c>iV2'+ • • ■ }; 



1) D. h. bei dem von Frank sogen. Gravitationsmanometer; auch hier ist 

 die Frank' sehe Differentialgleichung unrichtig — , und sein Anspruch (Theorie 

 der Gravitationsmanometer. Zeitschr. f. Biol. Bd. 54 S. 33), die Theorie auf 

 variable Querschnitte erweitert zu haben, hinfällig. 



2)Poincare, Mecanique Celeste t. 1 p. 58. Vgl. auch Picard, Traitö 

 d'Analyse t. 3 p. 157. — .J. Hörn, Zeitschr. f. Math. u. Physik Bd. 47 S. 400ff. 1902. 



