Krit. Randglossen zu den theoret. Untersuchungen von 0. Frank etc. 261 



man als äussere Kraft eine stetige Funktion der Zeit wählt, der 

 Mach 'sehe Satz richtig ist, lässt sich sehr einfach zeigen. 



Es sei gegeben die Differentialgleichung eines gedämpft 

 schwingenden Massenpunktes unter der Wirkung einer stetigen Kraft 



1, n 



i 



1, « 



m x" -\- k x' -\- a^ X ^ 2 Ai cos p4 - • • • (20) 



i 



Das allgemeine Integral dieser Gleichung (d. h. die registrierte 

 Kurve) lautet dann: 



^2 B;. COS {p}.t — xpx) + « e~ 27. ^ cos ()/— t — dj (21) 



wo a und d die aus dem Anfangszustand zu bestimmenden Integrations- 

 konstanten sind; JBi und ipi haben folgende Werte: 



Ai 



1, M 

 X = 





tang ipi 



^ L 2 _ ^\ ] 



k^ pz^ V " ^J \ 



m {nQ^—p-/f) 



m^ !> . (22) 



kp;L 



Man erkennt , dass für k =^ , wie klein es auch gewählt sei, 

 das zweite Glied wegen des Exponentialfaktors „nach und nach" 

 verschwinden muss. Es verschwindet um so rascher, je grösser die 

 Dämpfung ist. Nehmen wir nun eine hinreichend lange Zeit als 

 verflossen an, so haben wir es nur mit dem ersten Gliede zu tun, 



welches die erzwungenen Schwingungen darstellt: 



1,« 



x= 2 Bi cos {pit—xpj) (21 a) 



i 



Hier setzt nun die Frage Mach 's ein: Wie gross muss h gewählt 

 werden, damit die Form der registrierten Kurve, die durch die letzte 

 Gleichung ausgedrückt wird, (abgesehen von etwaigen nicht störenden 

 konstanten Faktoren) möglichst identisch wird mit der zu registrie- 

 renden äusseren Kraft 2 Ai cos^/^? 



Unter der stets zu machenden Voraussetzung, dass yiq sehr viel 

 grösser als alle pi ist, erkennt man, dass es hier am günstigsten 

 sein muss, k möglichst nahe an zu wählen. Denn dann ist nach 

 der Gleichung (22): 



tang xpx = 0, d. h. i//;. ^ ; 

 -ß ^ Ax 



m{no^—px^y 

 oder, da px^ gegen Mq^ vernachlässigt werden kann : 



