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Th. Emile ter Kuile: 



beweist die Möglichkeit der Erklärung durch Obertöne noch nicht 

 ihre Notwendigkeit. Helmhol tz' absolute Konsonanzen, welche 



durch das Verhältnis y, Euklid 's XöyoQ, Ttollarc'kciaiog , ratio 



multiplex, gekennzeichnet sind und auch Ptolemäus' homophone 

 Intervalle, Oktave und Doppeloktave in sich begreifen, haben, nach 

 meiner Formel betrachtet, dieses Besondere, dass sie die 

 einzigen Konsonanzen sind, bei denen die Akkordperiode 



oder in casu Zweiklangsperiode 



J^ 



JD 

 gleich ist der Periode eines der beiden, und zwar des tiefsten 

 Tones des betreffenden Intervalle s. Wir haben ja den tiefsten 

 Ton vorgestellt durch aJD, und bei diesen Intervallen ist « immer 

 gleich 1 und also aD = D, d. h. Schwingungszahl des 

 tiefsten Tones gleich Akkordfrequenz. Nur bei diesen 

 Konsonanzen kann man vollauf sagen, dass der Akkord auf dem 

 tiefsten Ton als Grundton aufgebaut ist. Von den Mehrklängen 

 haben die Eigenschaft alle diejenigen, welche aus Grundton mit 

 harmonischen Obertönen bestehen. Betrachten wir nur 

 die Zweiklänge, welche nicht den Bereich einer Oktave überschreiten, 

 so ist durch dieses Merkmal die Oktave von allen übrigen Konso- 

 nanzen unterschieden. (Vgl. auch S. 43 unten.) 



Gehen wir nun zu den mehrstimmigen Akkorden über und 

 betrachten zunächst den Dur-Dreiklang, so können wir diesen mit 

 seineu Umlagerungen ^) nach meiner Verschmelzungsformel wie folgt 

 in eine Beihe ordnen: 



a:ß:y 



■]/a-ß-y 



Ordnung nach 

 H e 1 m h 1 1 z 



Grundton mit Obertönen 

 Quartsextakkord .... 

 Stammakkord ..... 



Sextakkord 



3: 5 

 3: 5 

 4: 5 

 5: 6 

 5: 6 

 5: 8 

 4:10 

 6: 8 

 8:10 

 4: 5:12 

 5: 8:12 

 5: 6:16 

 5:12:16 



0,40 

 0,32 

 0,26 

 0,26 

 0,20 

 0,20 

 0,'?0 

 0,16 

 0,16 

 0,16 

 0,13 

 0,13 

 0,10 



1 



2 



3 



4 



5 



7 



6 



8 



9 



10 



11 



12 



1) Innerhalb zweier Oktaven mit Hinzufügung des Akkordes 1:3:5 be- 

 stehend aus Grundton mit harmonischen Obertönen. 



