Konsonanz und einfaches Zahlenverhältnis. 



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Helmholtz' Rangordnung beruht hier auf den in und ausser 

 der Harmonie liegenden (akkordfremden) ersten Differenztönen der 

 einzelnen Zweiklänge, welche den Dreiklang zusammensetzen. 1 bis 6 

 (vollkommen wohlklingende Dreiklänge) haben keine akkordfremden 

 ersten Differenztöne, 7 bis 10 nur die Septime, 11 und 12 aber noch 

 unharmonischere. Dass diese Töne aus der Harmonie fallen, kann, 

 sofern sie nicht schweben, nach Helm holtz' scher Auffassung die 

 Konsonanz eigentlich nicht beeinflussen, und wenn sie es tun, so 

 gehört dies gerade zu dem, was erklärt werden soll. 



Wir können auch noch einmal sehen , wie sich einige vier- 

 stimmige Durakkorde, darunter auch die von HelmhoUz aus je 

 zwei vollkommen wohlklingenden dreistimmigen zusammengesetzten, 

 nach meiner Formel ordnen. 





a:ß:y:d' 



K ■ ß ■ y • (i 



1 



Ordnung 





4. 



fu • ß-yä 



nach 









Heimholt/ 



Grundton mit 1 

 Obertönen | 



1:2:3: 5 

 1:3:4: 5 

 1:4:5: 6 



30 



60 



120 



0,427 

 0,359 

 0,302 



— 





2:3:4: 5 



120 



0,302 



1 





2:3:5: 6 



180 



0,273 



2 





2:3:5: 8 



240 



0,254 



4 





2:4:5: 6 



240 



0,254 



8 





3:4:5: 6 • 



360 



0,230 



5 





3:4:5: 8 



480 



0,219 



6 





2:5:6: 8 



480 



0,219 



9 





3:4:5:10 



600 



0,202 



— 





3 : 4 : 5 : 12 



720 



0,193 



— 





3:5:6: 8 



720 



0,193 



11 





3:4:6:10 



720 



0,193 









4:5:6: 8 



960 



. 0,180 



10 





3:4:8:10 



960 



0,180 



— 





4:5:6:10 



1200 



0,170 



3 





4:5:6:12 



1440 



0,162 









3:6:8:10 



1440 



0,162 



— 





4:5:6:16 



1920 



0,151 



— 





5 : 6 : 8 : 10 



2400 



0,143 



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Wie stets, wenn nach meiner Formel geordnet wird, kommen 

 die Akkorde, welche aus Grundton mit Obertönen be- 

 stehen, obenan. Ferner haben die nächsten zwei, die zu den 

 von Helmholtz angegebenen gehören, dieselbe Rangordnung wie 

 bei ihm. Wo sie von ihm abweicht, ist die nach meiner Formel 

 meistens richtiger, so schon 2:4:5:6, der Stammdreiklang mit nach 

 der Tiefe verdoppeltem Gruudton, welcher bei Helmholtz die 



