über die Abbe' sehe Sinusbedingung. 179 



punkten Ä und P der anderen parallelen Seite, so erkennt man 

 leicht aus dem Umstand, dass die Strecken CS und CA einerseits 

 und EB und EF andererseits als Radien der Kreise gleich sind, 

 dass sowohl die Gerade SA den Winkel bei A, als auch die 

 Gerade SP den Winkel bei P halbiert. Zieht man durch E eine 

 Parallele zum Radius CA, so schneidet dieselbe AP in einem 

 Punkte S, welcher auf der Peripherie des beweglichen Kreises liegt; 

 denn das Viereck A CES stellt ein Parallelogramm dar, so dass 

 ES=^ CA, also gleich dem Radius r der beiden Kreise ist; ausser- 

 dem ist AS= CE, also gleich dem doppelten Radius 2r. Die 

 Fortsetzung EE' dieser Parallelen über E hinaus bildet dann mit 

 der Verlängerung ES' des Radius ES denselben Winkel wie der 

 Radius EP, da. ^ S' E E' gleich dem Trapezwinkel an der Ecke J. 

 und -^ S' EP gleich dem Trapezwinkel an der Ecke P ist, und 

 beide die gleiche Grösse u besitzen. 



Es liegt nun im Wesen des Abrollens, dass der Übergang des 

 beweglichen Kreises aus der in Fig. 7 gezeichneten Stellung ES SP 

 in eine unendlich benachbarte Stellung einer unendlich kleinen 

 Drehung des Kreises um seinen Berührungspunkt S entspricht. 

 Jeder Punkt dieses Kreises wird sich daher im ersten Moment in 

 einer Richtung weiter bewegen, welche auf seiner Verbindungslinie 

 mit dem instantanen Drehpunkt S senkrecht steht. Diese letztere 

 Verbindungslinie stellt infolgedessen die momentane Normale der 

 Bahnkurve des betreffenden Punktes dar. So steht SE auf dem 

 Bahnkreis des Mittelpunktes des beweglichen Kreises an der Stelle E 

 senkrecht, wie ohne weiteres ersichtlich ist. Es stellt aber auch SP 

 die Normale zu der Bahnkurve des Punktes P, d. h. also zu der 

 Kardioide an der Stelle P dar; die Tangente an die Kardioide im 

 Punkte P würde demnach auf SP senkrecht stehen. 



Denkt man Fig. 7 um die Gerade NBA CH(, als Achse herum- 

 gedreht, so beschreibt der Kreis SE eine Kugelfläche und die 

 Kardioide AP eine Rotations-Kardioidfläche, welche insbesondere 

 in A eine nach einwärts gehende Spitze besitzt. In jedem Durch- 

 schnitt der beiden Flächen mit einer durch die Achse NHq gehenden 

 Ebene hat man dann immer wieder die gleichen geometrischen Ver- 

 hältnisse wie in Fig. 7, welche jetzt ebenfalls als ein solcher Durch- 

 schnitt aufzufassen ist. 



Es sei nun eine Einrichtung getroffen, welche es einem von der 



Spitze A der Kardioidfläche ausgehenden Strahle gestattet, ohne Ab- 



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