134 M. Gildemeister: 



einer Exponentialkurve, auf die sich eine gedämpfte Schwingung super- 

 poniert. Das entspricht den Einthovenschen Beobachtungen. 



c) Die Bedingungsgleichung der Aperiodizität. 



Wir wollen hier die Bedingungen für Aperiodizität ermitteln. Die 

 Frage heißt dann: Unter welchen Bedingungen verschwinden gerade 

 die komplexen Wurzeln der Gleichung (16) ? Die Antwort ist aus der 

 Cardani sehen Lösung einer Gleichung dritten Grades zu entnehmen. 



Setzt man in der kubischen Gleichung 



a3 + 3aöc2 + 36a + c = (17) 



X — a für oc, so erhält man die reduzierte kubische Gleichung 



x^-S{a^-b)x-2- 3 0^^-2«^' - Lf _ o (18) 



oder x^ — S mx — 2 n = (19) 



Sab — 2a^- 

 m =^ a^ — o; n = — 



Die Cardanische Formel besagt, daß 2 Wurzeln komplex sind, wenn 

 ^2 — m^ > 0. In unserem Falle heißt das, daß dann Schwingungen 

 auftreten. Die Periodizität verschwindet gerade, d. h. es ist der aperio- 

 dische Zustand erreicht, wenn n^ ~ m^ = 0. Setzt man hier die hinter 

 Gleichung (19) angegebenen Werte von n und m ein, so heißt die Be- 

 dingung des Verschwindens der imaginären Ausdrücke 



— 3 «2 62 _ 6 a 6 c ^ 4 ^3 c + 4 63 + c2 = (20) 



Nun bestimmt man schließlich durch Vergleichung von Gleichung (16) 

 und Gleichung (17) die Werte von a, b und c 



. 2rJ>,+ J^ ._2vD^±^ _ 2„ 



3 ' 3 ' 



und setzt diese in Gleichung (20) ein, wodurch schließlich nach län- 

 gerer, aber einfacher Rechnung, nachdem durch 4 v^ dividiert ist, folgt 



B^l - Dl)-^2B^v{3Dh-2 D^Dl - 5 i)« + 4 Dl) 

 + 2B^v^{l + 6i)?- 2DlDl-\\DaDj,-^QD^) 

 + 2Bv^{iDl - 5D, - 2DID, + SD,) + ^^(1 - Dl) = 

 In dieser Gleichung ist B die Unbekannte, in der der gesuchte 

 aperiodisierende Kondensator steckt, und v, D^ und Df, sind bekannt. 

 Sie wird noch einfacher, wenn man durch B^ dividiert und für 7'fB 

 = vCW die neue Unbekannte z einführt. Man hat dann schließlich, 

 nach fallenden Potenzen von z geordnet, die Schlußgleichung: 

 z^l - Dl) + 2zH4.Dl - 5 A - ^DlDa + SD„) 

 + 2^2 (1 + GDI - 2DIDI - llDaD^ + 6 Dl) 

 + 2z{3D,- 2D,Dl - 5D„ + ^Dl) + {l-Dl) = Q (21) 



