176 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



rechten und der linken Seite der Gleichung (5.) ist in dem 



v — t 



Falle (I), wenn i^^S, von der Ordnung mg, wenn i^ = 2, 



t 

 von der Ordnung m a log /w, in dem Falle (II) von der Ord- 

 nung m. log m. 



Die ausgesprochenen Behauptungen sind jetzt zu begrün- 

 den. Offenbar erhält man alle durch die Function /(»:,, x^, ... x^) 

 ausführbaren Darstellungen der Zahlen von 1 bis m, bei welchen 

 die Ungleichheiten (2.) erfüllt sind und die Zahlen o;,, x^, ... o:^ 

 keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, indem man den Grö- 

 fsen X,, X2^ ... Xf zuerst alle ganzzahligen den Bedingungen 

 (3.) entsprechenden Werthe beilegt, und darauf diejenigen 

 Werthverbindungen ausscheidet, bei denen a;,, xg, . .. x^ gleich- 

 zeitig durch die Primzahlen 2, 3, ... bis zur gröfsten als ge- 

 meinschaftlicher Theiler vorkommenden Primzahl aufgehn. Um 

 diese Ausschliefsung zu bewerkstelligen und darzustellen, be- 

 zeichne T(Är, m) die Anzahl derjenigen den Ungleichheiten (3.) 

 genügenden Werthverbindungen, wo xj, xj, ... x^ ganze Viel- 

 fache derselben Zahl k sind. Dann erkennt man leicht die 

 Richtigkeit der Gleichung 



(6.) *(m) = Y(l, m) - T(2, m) — T(3, m) -f- T(6, m) q: . . . 



deren rechte Seite folgendermafsen gebildet ist. Zu dem ersten 

 Gllede '4^(1, m) tritt das zu der Primzahl 2 gehörende Glied 

 — T(2, m), und allgemein wird das zu der o-ten Primzahl gehö- 

 rende Aggregat von Gliedern aus den sämmtlichen 2*^"* vor- 

 hergehenden Termen gebildet, indem man das erste Argument 

 eines jeden alten Terms mit der o-ten Primzahl multiplicirt, und 

 dem neuen Term, dessen erstes Argument gleich diesem Pro- 

 duct wird, ein Vorzeichen giebt, das dem Vorzeichen des alten 

 Terms entgegengesetzt ist. 



Es ist zweckmäfsig, von hier ab die Fälle (I) und (II) zu 

 sondern. Da nach der Voraussetzung von (I) den Bedingungen 

 (3.) nur endliche Werthe von a;,, Xg, ... x,, entsprechen, so 

 ist klar, dafs dieselben für die Annahme m = l eine gewisse 

 Constante c numerisch nicht übersteigen, und vermöge der Ho- 

 mogeneilät der Functionen f(x^^ Xz-, ... *\), C,, Cg, ... C^ 

 folgt hieraus weiter, dafs bei einem beliebigen Werthe von m 



