vom 24. ^pril 1865. 181 



Nachdem die Gleichung (5.) sammt der Angabe des Grades 

 ihrer Genauigkeit strenge bewiesen ist, lehrt eine von Dir ichl et 

 angewendete Betrachtung'), dafs der mittlere Werth der Func- 

 tion (f>(rn) 



— (0(/n -*- 1) -^ (p(m + 2) + ... + (p(m + t)) 



durch den asymptotischen Ausdruck 



^ u JL-i 



dargestellt wird, sobald die Zahlen t und m gleichzeitig und 



zwar in der Art wachsen, dafs erstens der Bruch — und zwei- 



m 



Tfl R 



tens im Falle (I), wenn «^^3, der Bruch , wenn ^ = 2, 



1 T> , m ~ s log m . T^„TTj T> , m z log m 

 der Bruch 2_ ^ im Falle II der Bruch — ge- 

 gen die Null convergirt. 



"Wählt man unter den Werthcombinationen , deren Anzahl 

 (p(m) genannt worden ist, diejenigen aus, bei welchen jede der 

 Zahlen x, , ac^ y ... x„ durch eine gegebene Primzahl q ge- 

 theilt einen vorgeschriebenen Rest liefert, und nennt die An- 

 zahl dieser Werthcombinationen %(/»), so ergiebt sich das Co- 

 roUar, dafs der mittlere Werth von %(m) in dem so eben für 

 (p(Tn) präcisirten Sinne asymptotisch durch die Formel 



(17.) = mg 



ausgedrückt wird. 



Wir werden jetzt von den gefundenen mittlem Werthen 

 der Functionen ^(m) und %(^m) einige Anwendungen machen. 

 Es sei erstens /(a:,, x^^ ... x^) eine quadratische Form mit u 

 Variabein 



') Über die Bestimmung der mittlem Werlhe in der Zahlentheorie. 

 Art. 5, 



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