vom 24. y^pril 1865. 183 



nur dann eine andere reduclrte, nämlich die Form (^a, —-b^ c) 

 äquivalent, wenn In den vorstehenden Bedingungen die Gleich- 

 heitszeichen gelten. Deshalb ist die Classenzahl h(jn) gleich der 

 Anzahl derjenigen Auflösungen der Gleichung b^ — ac =s — m, 

 bei denen die gesuchten Zahlen a, ä, c den Bedingungen (23.) 

 genügen, keinen gemeinschaftlichen Theller haben, und nach 

 dem Modul 2. nicht das Restsystem a! = 0, *=1, c = dar- 

 stellen, wobei die Anzahl der Auflösungen, bei denen die 

 Gleichheitszeichen In Kraft treten, halb gezählt wird. So auf- 

 gefafst führt die Frage nach dem mittlem Werthe von Ä(/n) 

 auf die oben ad (II) ausgeführte asymptotische Bestimmung der 

 Function 4>(m) zurück. Man übersieht leicht, dafs die Werth- 

 verbindungen «, ä, c, bei denen die Gleichheitszeichen In (23.) 

 gelten, Punkten entsprechen, die In Grenzflächen des mit T 

 bezeichneten Raumes fallen, dafs folglich die Zahl derselben mit 

 dem der Bestimmung (5^ .) anhaftenden Fehler von gleicher Ord- 

 nung Ist. Diese Erwägung berechtigt zu dem Gebrauche der 

 für die Function %(rrt) gefundenen Formel (17.). Man hat da- 

 selbst t/ = 3, g = 2, 7 = 2 zu setzen, und zu beachten , dafs von 

 den 7 Restsystemen, welche die Zahlen a, i, c nach dem Mo- 

 dul 2 hier darstellen können, eines auszuschllefsen Ist, mithin 6 

 übrig bleiben. Demnach entsteht für den mittlem Werth der 

 Function A(m) der Ausdruck 



(24.) T^^^'^- 



Derselbe stimmt mit dem im zweiten Bande von Gaufs 

 Werken pag. 284 gegebenen überein, weicht aber von dem in 

 disq. arithm. art. 302 mitgetheilten Ausdrucke um eine Con- 

 stante ab. 



Die dritte Anwendung geht auf die Anzahl h'(rn) der re- 

 duclrten binären quadratischen eigentlich primitiven Formen 

 (a, Ä, c) von der positiven Determinante b^ — ac = m, Dirichiet 

 hat den von Gaufs festgestellten Typus einer reduclrten Form, 

 deren Determinante kein vollständiges Quadrat ist, so ausge- 

 drückt'), dafs von den beiden Gröfsen 



') Vereinfachung der Theorie der bin. quadr. Formen von positiver 

 Determinante. § h. 



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