vom 21. December 1865. 689 



a,-,, ajg? •••^n ergeben. Die Gleichung (C) besteht demnach nur, 

 •wenn m •<. v^ .v^ ... v„ ist, und es mufs also für w = t/, .fg ••• »'n 

 die Gleichung (5) stattfinden. Diese enthält die bekannten 

 Jacobi'schen Relationen für die den n Gleichungen: F=0 genü- 

 genden simultanen Werthsysteme vona;,,x2, .. x„, Relationen, 

 welche demnach auf die hier angedeutete Weise ganz ebenso un- 

 mittelbar aus den Eigenschaften der Formel (^A) folgen wie die 

 E ul er'schen Gleichungen aus der Lagrange'schen Interpola- 

 tionsformel, in welche der Ausdruck (^) für den Fall n = \. 

 übergeht. 



Die einschränkende Bedingung, an welche im Vorstehenden 

 die Giltigkcit der Gleichung (5) geknüpft erscheint, wird von 

 Jacobi, welcher den Fall: n = 2 im XIV. Bande des Journals 

 für Mathematik ausführlich behandelt hat, nicht erwähnt. Die 

 daselbst angewendete Bezeichnungsweise läfst im Gegentheil auf 

 die Annahme einer unbeschränkten Giltigkeit der hergeleiteten 

 Formeln schliefsen. Indessen überzeugt man sich leicht davon, 

 dafs die Gleichung (jB) nicht mehr allgemein giltig bleiben kann, 

 wenn m-< 1^1 .v2...Va »st, da alsdann eine Function g (a:,, Xg ...x„) 

 existirt, deren Dimension kleiner als t^i -f- t'a -H • • -f- i'n — n ist, 

 und welche dennoch für alle m Werthsysteme: 



mit der Functionaldetermlnante von F^, F^ . . F„ übereinstimmt. 

 Bei genauerer Betrachtung der Jacobi'schen Methode zeigt 

 sich auch die Stelle, an welcher die obige einschränkende Be- 

 dingung auftritt. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wird 

 nämlich Jacobi's Bestimmung des Grades der von ihm be- 

 nutzten Multiplicatoren unrichtig. Eben dieselbe Bemerkung 

 gilt in Bezug auf die Ausführungen des Hrn. Betti, mittels 

 deren derselbe im I. Bande der Tortolinischen Annalen die Ja- 

 cobi'sche Methode ohne wesentliche Modification auf eine be- 

 liebige Anzahl von Gleichungen übertragen hat. Die erste 

 Herleitung der Jacobi'schen Relationen für eine beliebige An- 

 zahl von Gleichungen hat Hr. Liouville im VI. Bande seines 

 Journals gegeben und sich dabei ausdrücklich auf den sogenann- 

 ten allgemeinen Fall, in welchem m = i/^.t/^ • • • "« ""d also die 

 oben angegebene Bedingung wirklich erfüllt ist, beschränkt. Die 

 Formeln, auf welche Hr. Liouville a. a. O. durch die Theorie 



