14 Gesammlsilzung 



mir nicht, die Untersuchung in dieser vollen Allgemeinheit zum 

 Abschlufs zu bringen; ich konnte sie nur führen, sobald sie auf 

 den für den vorliegenden Zweck ausreichenden Fall beschränkt 

 wurde, dafs der Grad von y^ niedriger ist als der von 4^. Im 

 Folgenden theile ich meinen Beweisgang seinem wesentlichen 

 Inhalte nach mit, indem ich eine ausführlichere Bearbeitung mir 

 für eine andre Veröffentlichung vorbehalte. 



Die obige anscheinend rein äufserliche Beschränkung in Be- 

 treff des Grades von -^ und y^ erlheilt, wie eine genauere Un- 

 tersuchung zeigt, den Integralen von (a) , von denen vorläufig 

 noch keines eine ganze Function von ac zu sein braucht, einen 

 bestimmten Charakter. Um diesen anzugeben sage ich von einer 

 Function Ü" von iu, sie sei für einen endlichen Werth x = a 

 von der Ordnung «, wenn, wie klein auch die positive Gröfse 

 £ genommen wird, (x — a)"'*'^ U und (jc — a)"~^ U für x=a 

 resp. und oo ist; für ein unendliches x nenne ich sie von 

 der Ordnung «, wenn x~"~^ fJ und x~"'^^ U für ic=cso resp. 

 und CO wird. An den Stellen a oder oo braucht hierbei U 

 selbst weder noch oo zu werden, so dafs z, B. sowohl eine 

 Constante wie auch log x überall von der Ordnung Null ist. 



Dies vorausgesetzt findet man: Soll das allgemeine In- 

 tegral von (a) für x = oo eine bestimmte endliche 

 Ordnung haben, so mufs der Grad von f/^ mindestens 

 um eine Einheit geringer genommen werden als der 

 von 4^; soll das Integral für alle Werthe von x, für 

 die 4^ (x) verschwindet, eine endliche Ordnung be- 



sitzen, so kann ■ . , gehörig gehoben, im Nenner 



•4^{x) 



nur ungleiche Factoren behalten. 



Da jede algebraische Function von x, jedes Integral einer 

 solchen Function, auch jede rationale Function von algebrai- 

 schen Functionen von x und Integralen solcher Functionen über- 

 all eine endliche Ordnung besitzt, und dem Differentialquo- 

 tienten dieser Function dieselbe Eigenschaft zukommt, so gilt 

 also der Satz: Soll das allgemeine Integral von (a) eine 

 rationale Function von Integralen algebraischer 

 Functionen werden, so ist der Grad von y und S 

 mindestens resp. um ein und zwei Einheiten niedri- 



