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mit ganzzahligen Coefficienten genügen, nämlich der bekannten, 

 welche gleiche Wurzeln anzeigt. Auch für das Bestehen un- 

 seres Satzes reicht hin, dafs die Coefficienten gewisse algebrai- 

 sche Gleichungen in endlicher Anzahl mit ganzen Coefficienten 

 nicht erfüllen, Gleichungen, die in jedeKi Falle, nur nicht in 

 übersichtlicher Form, wirklich gebildet werden können. 



Um den Beweis des Satzes zu führen setze man in (a) für 

 VT und 3" ganze Functionen des Grades resp. v und p — 1 ein, 

 nämlich 



Es ist ersichtlich , dafs die erforderliche und hinreichende Be- 

 dingung dafür, dafs FF der Gleichung (a) genügt, darin besteht, 

 dafs gewisse u -i^ p Gleichungen erfüllt werden, die linear so- 

 wohl nach den g als nach den k und den Coefficienten von %// 

 und "v sind. Aus der ersten von ihnen bestimmt sich ätq voll- 

 ständig durch die gegebenen Coefficienten von 4^ und %; die 

 folgenden u Gleichungen geben sämmtliche g ausgedrückt durch 

 dieselben bekannten Coefficienten und die p — 1 Unbekannten 

 Ä:,,Ä:2, etc. Die Werthe der g-, aus der zweiten bis t' + lten 

 Gleichung in die letzten p — 1 substituirt, geben dann ;p — l Glei- 

 chungen höheren Grades zwischen den Unbekannten A:,, Arg, etc., 

 k _< und den bekannten Coefficienten von \^ und ■)(,, die nur 

 rational in diesen Gleichungen auftreten. Sind die k einmal aus 

 diesen y» — 1 Gleichungen bestimmt, so giebt die Substitution der 

 gefundenen Werthe in die zweite bis i^-hlte alle g. Heifsen 

 zwei Systeme von zusammengehörigen A:, heifsen also die Sy- 

 steme Ä:,, ^2, etc., kp_^ und k\, k'^, etc. ä:^_, verschieden, wenn 

 nur nicht jedes k gleich dem k' mit demselben untern Index 

 ist so sieht man aus der Form der zweiten bis i/-f-lten Glei- 

 chung mit völliger Gewifsheit ein, dafs jedem Systeme der k 

 ein System der g-, verschiedenen Systemen der k verschiedene 

 Systeme der g entsprechen. Man erhält also so viel verschie- 

 dene Gleichungen (a) und daher so viel verschiedene ganze 

 Functionen FT vom i'ten Grade, als es verschiedene Systeme 

 von k giebt. 



