vom 7. Januar 1864. 17 



Zunächst zeigt sich, dafs der Grad der Eliminations- 

 gleichung höchstens (f, p) ist, dafs also nicht mehr 

 als (y, p) verschiedene Systeme der k existiren kön- 

 nen. Wirft man einen Blick auf die v + /7 Gleichungen, die 

 man, mit Ausnahme der ersten für kg, für den speciellen Fall 

 p = 3 und wenn aufserdem %(^) einen besondern Werth be- 

 sitzt, in meiner Arbeit über Lame'sche Functionen verschiede- 

 ner Ordnungen im Borchardt'schen Journal Bd. 60 S. 300 findet, 

 so wird man die Wahrheit dieser Behauptung vielleicht nicht 

 sogleich erkennen, und den Grad der Eliminationsgleichung für 

 höher halten; setzt man aber statt Äg» ^3» ^tc. für den Augen- 

 blick a;|, a'3, etc, WO die untern Zahlen Indices die obern Po- 

 tenzexponenten vorstellen, und der Symmetrie halber x^ für Atj, 

 so bemerkt man sofort, dafs §•,, g-g, etc., g-^ ganze Functionen 

 der X resp. vom Grade 1, 2, etc., i> sind, so dafs nach der Sub- 

 stitution die p — 1 letzten Gleichungen nach den x vom Grade 

 V •+• ly u -j~2, etc., V -h p -i- i werden, ihre Eliminationsgleichung 

 also höchstens auf den Grad (f + l) (i^ + 2) .... (u -i- p -t- i) 

 steigt. Berücksichtigt man, dafs jedem Werthe von ä,, k^, k^^ etc. 

 resp. einer von x, , zwei von X2-, drei von x^^ etc. entspre- 

 chen, so ist die obige Behauptung erwiesen. 



Unter der Voraussetzung, dafs die Eliminations- 

 gleichung nicht identisch verschwindet, wird sie 

 wirklich jenen Grad erreichen, und (f, /?) verschie- 

 dene Systeme der k geben. Denn es existiren, wie ich 

 unten zeige, selbst dann noch (f, p) verschiedene Systeme, wenn 

 die Coefficienten von -^ und % in gewisser Art specialisirt 

 werden. Dafs aber jene Eliminationsresultante nicht identisch 

 verschwindet, geht aus folgender Betrachtung hervor, welche ich 

 einer brieflichen Mittheilung meines Freundes Kronecker ent- 

 nehme. Wenn in der erwähnten Finalgleichung, welche die Functio- 

 nen ^(x) und W{x') bestimmen soll, sämmtliche Coefficienten 

 verschwinden, so bleibt, wie die allgemeinen Principien der Eli- 

 mination ergeben, mindestens eine der Wurzeln von FF'(x) = o 

 unbestimmt. Legt man dieser Wurzel nach einander alle Wer- 

 the bei, für welche ^^(x') verschwindet, so erhält man hierdurch 

 besondere Bedingungen (ur die Function %(^), welchen diese 

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