\Q Gesammlsitzung 



aber selbst nach den unten vorkommenden Speciallsirungen nicht 

 genügt. Hr. Kronecker fügte in der bezüglichen Mittheilung 

 hinzu, dafs diese Bedingungen in der That erfüllt sind und eine 

 der Wurzeln von ?^(x) = unbestimmt bleibt, wenn v// und % 

 so beschaffen sind, dafs für gewisse Functionen S-(ir) beide In- 

 tegrale der Gleichung (a) ganze Functionen von x werden*). 



Um über die Anzahl der Systeme bei specialisirten \^ und 

 '^(^ zu handeln, setze ich solche Gleichungen zwischen den Coef- 

 ficienten, dafs -^ einen seiner linearen Factoren x — a zweimal, 

 <)(, ihn einmal enthält. Dann haben alle VF", welche (a) genü- 

 gen, die Formen : 



U{v); (x — a) ?7(i/ — l) ; ; {x — «)''?7(o), 



wenn die U ganze, nicht durch x — a theilbare Functionen von 

 X vorstellen, deren Grad eingeklammert zur Rechten neben dem 

 Buchstaben U steht. Durch Substitution dieser Formen in (a) 

 ergiebt sich für jedes U eine Gleichung wie (a), in der statt 

 \[^ und % wiederum ganze Functionen mit unabhängigen Coef- 

 ficienten auftreten, die aber nicht mehr auf den Grad yo-f-1 und 

 /w, sondern p und p — 1 steigen. Nimmt man nun an, der zu 

 beweisende allgemeine Satz sei bewiesen, wenn v ein Product 

 von p linearen Factoren ist — und für ein Product aus zwei 

 Factoren ist er sehr leicht zu erweisen — so hat man demnach 

 für den Fall, dafs "p aus p + i Factoren besteht von denen zwei 

 gleich sind, im ganzen 



(t., p-i) -f- {v-i, p-i) -f- (m_2, ^-1) + . . . . + (0, yD-l), 



') Führt man die v Wurzeln der Gleichung rF(.r)=0 als Unbekannte 

 ein, zu deren Bestimmung also die v Gleichungen: 



i^{xu ) . W\xk ) + %{x,. ) . W\xu ) = für Ä = 1, 2, . . . V 

 dienen, wenn darin die Coefficienten von W\ W" durch die symmetri- 

 schen Functionen von x^, x^ • . ■ ersetzt werden, so ersieht man unmit- 

 telbar, dafs eine der Gröfsen x beliebig bleibt, wenn die Eliminations- 

 gleichung verschwindet. Durch eine einfache Umformung dieses Glei- 

 chungssystems läfst sich aber auch der Grad der Finalgleichung ermitteln 

 und zugleich nachweisen, dafs gewisse Coefficienten derselben von Null 

 verschieden sind , so lange über die Functionen "^ und % nicht besondere 

 Bestimmungen getroffen werden. Kronecker. 



