vom 7. Januar 1864. 19 



d. h., nach Ausführung der Summation, (u, p) verschiedene PF^ 



also (f, p) verschiedene ^ und eben so viele verschiedene Sy- 

 steme der k. 



Der Satz, der hierdurch bewiesen ist, dient dazu, die Exi- 

 stenz der Lame'schen Functionen ;oter Ordnung (erster Art), 

 die zu einer ganzen Zahl n gehören, nachzuweisen und ihre 

 Anzahl zu bestimmen. Es mag im Folgenden der Fall p = i 

 ausgeschlossen werden, weil in demselben eine Modifikation im 

 ßeweisgange erforderlich ist; er bietet übrigens durchaus keine 

 Schwierigkeiten dar, sondern führt sogleich auf endliche hyper- 

 geometrische Reihen. 



Jene Functionen sind Integrale von (a), wenn \|/ wiederum 

 vom ;»-i-lten Grade ist, % aber nicht allgemein bleibt, sondern 

 gleich ~\l/'(x) gesetzt wird. Sie sind ferner nicht ganze Func- 

 tionen von X, sondern ganze Functionen nten Grades von 

 ^,, ^21 etc. ^p + i, wenn a,, «2? etc. a^ + j die Wurzeln von 

 \^(:r) = vorstellen, und zur Abkürzung 



Ai =Vx--ai, Az =Vx — a2, , ^p^t = Vx— a^^, 



gesetzt wird. Endlich weifs man auch, dafs sie sich säramtlich 

 als Producte von ganzen Functionen von x in ein oder meh- 

 rere yä darstellen lassen. 



Ist zunächst n grade, und zwar n=:2u gesetzt, so kann man 

 daher jede in die Form bringen 



(b) . . . yä'A" ^^2^> r(u — m), 



wenn A\ A'\ etc. je 2m verschiedene von den A vorstellen, 

 V(y — m) eine ganze Function v — mten Grades von x ist, und 



m alle ganzen Werthe von bis annimmt. Alle Func- 



Alle Functionen in der Form (b) die, für JV gesetzt, (a) ge- 

 nügen und nur solche sind die zu n = 2v gehörenden Lame- 

 schen Functionen yoter Ordnung. 



Durch Einsetzen der Form (b) statt FF in (a) findet man 

 für jedes F eine Differentialgleichung von derselben Art wie 

 (a), in der -^ dieselbe Bedeutung behält wie dort, in der aber 

 für %(x) 



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