20 Gesammtsitzung 



ZU nehmen Ist, wenn "^i^pc) der Reihe nach alle Factoren von 

 \|/(a:) vorstellt, "^{oc) in -^ ^{x) -^l/ ^(x) aufgelöst wird, und \^' 

 und -^'i die Differentialquotienten von -^ und n/^j sind. Die 

 Anzahl der Werthe von /^, die einer dieser Gleichungen da- 

 durch angehören, dafs man 4^ und \|/i in derselben festhält und 

 die gehörigen S" wählt, ist nach unserm Satze bekannt, nämlich 

 {v — m^ p) wenn \^j aus 2m Factoren A^ besteht. Hält man m 

 fest, und wählt alle möglichen \^j, so erhält man also 



,. (p -hi)p(p-i).--(p -+-2 -2m) 



(c) . . . (v — m.p) 



^ ^ 1. 2. 3 2 m ^ '^ 



verschiedene Functionen VT. Indem man m alle ganzen Werthe 

 von bis giebt, erhält man die Anzahl aller VF gleich 



der Summe von Gliedern (c) von m = bis m= . Diese 



^ 2 



Summe läfst sich ausführen und giebt die gesuchte Anzahl 

 der Lame'schen Functionen gleich (n,p)~i-(n — i,p). 



Streng genommen konnte hier der Satz über die Anzahl 

 d€r ganzen Functionen, welche einer Differentialgleichung genü- 

 gen, nicht ohne Weiteres angewandt werden, da \^ und % nicht 

 unabhängige Coefficienten enthalten, sondern solche, die linear 

 von den Coefficienten von \ly^ und \^2 abhängen. Die Methode, 

 durch welche der Beweis jenes Satzes geführt wurde, bleibt aber 

 noch vollkommen anwendbar. Es beruht dies auf dem Umstände, 

 dafs der obige Beweis von p auf ;oH-l noch immer bindend ist; 

 man sieht nämlich sofort ein , dafs wenn « Wurzeln in •4^(x) 

 gleich a^ von selbst genau « — l Wurzeln in dem Ausdruck 



gleich a werden. 



Wäre n ungrade gewesen, so hätte man dasselbe Resultat 

 für die Anzahl der Lame'schen Functionen erhalten. 



Schliefslich soll noch darauf hingewiesen werden, dafs es 

 zwar nicht ohne Interesse sein mag, dafs aufser dem Beweise 

 für die Existenz der Lame'schen Functionen auch ihre Anzahl 

 gefunden ist; für die Theorie dieser Functionen hat es aber eine 

 grofse Bedeutung, dafs grade die oben angegebene Zahl sich 



