248 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Ebenen auch Tangentialebenen des die Fläche in diesem Punkte 

 osculirenden Kegels sein. 



Man erkennt in diesen Beziehungen der 16 Punkte und der 

 16 Ebenen zu einander offenbar ein reciprok polares Verhältnifs, 

 welches darin seinen Grund hat, dals die reciproke polare Fläche 

 einer Fläche vierten Grades mit 16 singulären Punkten selbst 

 eine Fläche vierten Grades mit 16 singulären Punkten ist, und 

 dafs in der reciproken polaren Fläche jeder singulare Punkt zu 

 einer singulären Tangentialebene wird und umgekehrt. 



Um die allgemeine Gleichung aller Flächen vierten Grades 

 mit 16 singulären Punkten zu bilden, wähle man unter den 16 

 singulären Tangentialebenen vier von der Art aus, dafs die vier 

 Ecken des von ihnen gebildeten Tetraeders zugleich vier von 

 den sechzehn singulären Punkten sind, welcher Bedingung stets 

 auf mehrfache Weise genügt werden kann. Bezeichnet man die 

 Gleichungen der vier in dieser Art gewählten singulären Tan- 

 gentialebenen mit 



;? = 0, 7 = 0, r = 0, j = 0, 



wo /?, 7, r, s ganze lineare Funktionen der drei Goordinaten 

 sind, so kann man die gesuchte allgemeine Gleichung dieser Art 

 von Flächen vierten Grades als eine homogene Gleichung vier- 

 ten Grades unter den vier Variabein p, 9, r, s auffassen. Nach 

 der Voraussetzung, dafs die vier Eckpunkte des aus den Ebenen 

 p=0, <7 = 0, r = o, j==0 gebildeten Tetraeders singulare Punkte 

 der Fläche sein sollen, mufs nun diese homogene Funktion vier- 

 ten Grades, welche gleich Null gesetzt die Gleichung der ge- 

 suchten Fläche darstellt, zugleich mit ihren vier ersten , nach 

 den Variabein y», 9, r und s genommenen Ableitungen gleich 

 Null werden, sobald drei dieser Variabein gleich Null gesetzt 

 werden. Hieraus folgt, dafs in der Gleichung der Fläche keine 

 Glieder vorkommen können, welche die vierten Potenzen der 

 Variabein enthalten, und dafs auch alle diejenigen Glieder in 

 derselben nicht vorkommen können, welche einen Cubus einer 

 dieser Variabein enthalten. Enthielte nämlich die Gleichung 

 z. B. ein Glied >^/d*, so würde sie nicht erfüllt sein, wenn 

 zugleich 9 = 0, r5=0, j = gesetzt würde, enthielte sie ein 

 Glied Bp^q^ so würde die nach q genommene erste Ableitung 



