vom 18. April 1864. 249 



nicht gleich Null sein, wenn zugleich 9 = 0, r=:0, *=:0 gesetzt 

 würde. Die Gleichung der Fläche ist daher in Beziehung auf 

 jede einzelne der vier Variabein /?, ^, r, s nur vom zweiten 

 Grade. Weil ferner die genannten vier Grundebenen singulare 

 Tangentialebenen der Fläche vierten Grades sein sollen, und Jede 

 singulare Tangentialebene aus der Fläche zwei sich deckende 

 Kegelschnitte ausschneidet, so folgt, dafs für p = Q die Gleichung 

 der Fläche zu einem vollständigen Quadrate einer homogenen 

 Funktion zweiten Grades der drei übrigen Variabein werden 

 mufs, und In gleicher Weise auch für 9 = 0, für r = o und für 

 js=o. Setzt man nun die allgemeinste Form einer homogenen 

 Gleichung vierten Grades unter den vier Variabein p, 9, r, s 

 an, welche in Beziehung auf jede derselben einzeln genommen 

 nur vom zweiten Grade ist, und bestimmt die unbestimmten 

 Coefficienten dieser Form den angegebenen Bedingungen gemäfs, 

 so erhält man folgende allgemeinste Form der Gleichung: 



a^q^r^+b^r^p^-{-c''p^q^+d^p^s^ ^e^q^s^ +fr^s^ ^Zbcp^qr 

 -^Isacpq"^ r-\-ltabpqr^ +2z'cdp'^ qs-\-lt' t" cepq^ s-\-2z" depqs^ -i-2bdp^ rs 

 -\-2bfpr^s-{-2dfprs^ -^laeq^rs-^lafqr^ s-\-lefqrs^ — igpqrs=:0^ 



wo o, ö, c, J, e, / und g beliebige Constanten sind, s, e', s" 

 aber nur drei Einheiten, deren jede die beiden Werthe ±1 

 haben kann. Diese allgemeine Form enthält alle Flächen vierten 

 Grades in sich, welche vier singulare Tangentialebenen haben und 

 vier in den Ecken des von diesen gebildeten Tetraeders liegende 

 singulare Punkte, unter welchen die Flächen mit sechzehn singu- 

 lären Punkten mit inbegriffen sind. Um diese letzteren daraus 

 auszuscheiden ist merkwürdigerweise eine weitere Speclallsirung 

 durch Bedingungsgleichungen unter den Constanten nicht erfor- 

 derlich, es reicht vielmehr dazu eine richtige Wahl der drei un- 

 bestimmten Einheiten s, s', &" vollkommen aus, nämlich die, dafs 

 sie alle drei gleich — 1 genommen werden ; jede andere Wahl 

 dieser Einheiten erglebt nur Flächen mit weniger als 16 slngu- 

 lären Punkten. 



Die allgemeinste Gleichung aller Flächen vierten Grades mit 

 16 singulären Punkten ist demnach: 

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