vom 18. ^pril 1864. 251 



giebt man aber dem k einen der drei, dieser cubischen Glei- 

 chung genügenden Werihe, so wird 



•<\/-i-k(p-i-k^pq = Q 



nicht blofs die Gleichung einer Kegelfläche zweiten Grades, 

 sondern dieser Ausdruck zerfällt sogar In zwei lineare Faktoren, 

 welche mit p' und q' bezeichnet werden sollen. Die allgemeine 

 Gleichung der Flächen vierten Grades mit 16 singulären Punk- 

 ten nimmt demnach auch folgende Form an : 



4., {aqr + brp -H c (l -f- 2k) pq + dps + eqs -^frs) ^ 



— ik{k'\-i)pqp'q'^Q 



WO 



br ds 

 5., ^ =.,+ __ + _ 



ar "-" 

 q'=:cp-^- -t 



Dieselbe Gleichung läfst sich noch auf fünf verschiedene andere 

 Weisen in entsprechende Formen setzen, in welchen, wenn 

 aufserdem gesetzt wird: 



' Ä+ 1 k 



,_r dp eq 



s =fr — h 



• r 



anstatt der vier linearen Faktoren pqp'q' die je vier Faktoren 

 rsr's\ qsq's\ prp'r\ psp's\ qrq'r' hervortreten. 



Besonders bemerkenswerth ist auch die irrationale Form 

 dieser Gleichung der Fläche: 



7., Vk^-i- V(k-^i)qq' -f- V~^T? = 



welche, wenn für p\ q\ r' die bei (5.) und (6.) angegebenen 

 Ausdrücke gesetzt werden, rational gemacht mit (4.) vollkom- 

 men identisch wird. Die vier Gleichungen 



Stellen zwölf von den 16 singulären Tangentialebenen der Fläche 

 dar, nämlich wenn man dem in denselben enthaltenen k seine 



20* 



