252 Sitzung der physikalisch-mathemalischen Klasse 



drei Werthe giebt, die der cubischen Gleichung (3.) genügen; 

 die übrigen vier singulären Tangentialebenen sind 



/? = 0, 9 = 0, r = 0, J =s 0. 



Man kann in diesen Gleichungen, welche die Gonstante g nicht 

 direct enthalten, diese Gonstante als durch die neue k vollstän- 

 dig ersetzt ansehen, so dafs a, &, c, d', e, /, k die sieben nicht 

 in p^ 7, r, s enthaltenen Gonstanten der Fläche darstellen. Die 

 beiden anderen mit k^ und k^ zu bezeichnenden Wurzeln der 

 cubischen Gleichung (3.) werden alsdann als die beiden Wur- 

 zeln von folgender quadratischer Gleichung bestimmt: 



(ad 'Äe \ ad 



oder was dasselbe ist, durch die beiden Gleichungen: 



__ ad 



8., ^'^^--^k 



(^,+0(^2+1) = 



c/(Ä + i) 



Man kann die Gleichung (7.) auch In folgender Form dar- 

 stellen, in welcher die Spuren Ihrer besonderen Entstehung aus 

 (1.), welche sie In ihren Goef£cienten noch an sich trägt, gänz- 

 lich entfernt sind: 



9., y p{ßq+^r-\-'8s) -f- yq{a!p-\-j'r-\-h's) -f- M r(a"p-\'fi"q+'8"s)—^ 

 mit den beiden Bedingungsgletchungen 



«"7' H- /3'V - «"/3" = 0. 



Ohne diese beiden Bedingungsgleichungen unter den Coefficlen- 

 ten ist die Gleichung (9.) gleichbedeutend mit 



Vpp -f- Vqq' -f- Vrr' = 0, 



wo p, V» ^» P'i l\ ^' sechs ganz beliebige lineare Funktionen 

 der drei Coordinaten sind, und giebt eine Fläche, welche nur 

 14 singulare Punkte hat. 



