vom 18. April 1864. 255 



ihnen alle ebenen Curven vierten Grades sich ausschneiden las- 

 sen, oder umgekehrt: 



Durch jede gegebene ebene Curve vierten Gra- 

 des kann man Flächen vierten Grades mit 16 

 singulären Punkten hindurchlegen. 

 Um diefs zu beweisen nehme ich die gegebene ebene Curve 

 vierten Grades in der Form 



Vpoi^Po-^^iqo-hA^ro) -f. Vqa^Bpo+Biqo-i-Biro) -H 



+ Vr^^^Cpo+C^qo+C^ro) = 0, 



wo Poy 90) ^0 beliebige lineare Funktionen der zwei Coordi- 

 naten x und y sind. Dafs die allgemeinste Curve vierten Gra- 

 des sich in dieser Form darstellen läfst, hat zuerst Hr. Hesse 

 in seiner Abhandlung über die Doppeltangenten der Curven 

 vierter Ordnung in Crelle's Journal Bd. 49 gezeigt, wo er 

 pag. 301 die dieser Form gleichbedeutende rationale Form ent- 

 wickelt und in Gleichung (47.) aufgestellt hat. Ich nehme fer- 

 ner in der bei (9.) aufgestellten Form der Gleichung der Flä- 

 chen vierten Grades mit 16 singulären Punkten 



P=Po-ir^^i 7=9o-*-*^j r = ro + cz, s=po-i-mqo-i-nro-i-dz. 



Der Schnitt dieser Fläche durch die Ebene z=0 wird alsdann 

 identisch mit der gegebenen Curve, wenn folgende 11 Glei- 

 chungen Statt haben: 



^,=/n§+/3, B^=m8', Ct=mS"-i-ß", 



12., A2 = nB-i-y, Bt=nS'-i-y\ C^^nS", 



a'7-f-«"/3-ySy=0, tt"y'-t'ß"y-cc"ß"=:Q 



aus welchen die 11 Gröfsen /3, «y, §, «', 7', §', «", /B", §", m 

 und n bestimmt werden, während die vier Coefficienten o, 6, c, d 

 ganz beliebig bleiben. Um die Auflösung dieser Gleichungen 

 in der einfachsten Weise auszuführen, führe ich eine Hülfs- 

 gröfse u ein, indem ich setze 



13., « = --^, 



die beiden letzten der 11 Gleichungen bei (12.) geben alsdann 



