vom 18. ^pril 1864. 257 



ebenen derselben alle 28 Doppeltangenten der Curve ausge- 

 schnitten und zwar werden, wie eine genaue Untersuchung, die 

 ich hier nicht ausführen will, mir ergeben hat, sechs Doppel- 

 tangenten je sechsmal, sechs Doppeltangenten je zweimal und 

 16 Doppeltangenten je dreimal ausgeschnitten. 



Hiermit hängt eine sehr bemerkenswerthe ziemlich tief lie- 

 gende Eigenschaft der Flächen vierten Grades mit 16 slngulä- 

 ren Punkten zusammen, welche folgendermaafsen daraus ent- 

 wickelt wird. Durch einen jeden Punkt des Raumes gehen 

 bekanntlich 12 grade Linien, welche eine allgemeine Fläche 

 vierten Grades doppelt berühren, betrachtet man nun alle die 

 Fläche zweimal berührenden graden Linien, so bilden dieselben 

 ein Strahlensystem, welches die Fläche zur Brennfläche hat, und 

 welches ich als ein Strahlensystem der zwölften Ordnung be- 

 zeichne, weil durch jeden Punkt des Raumes zwölf Strahlen 

 desselben hindurchgehen. Wird die Fläche vierten Grades durch 

 eine beliebige Ebene geschnitten, so hat die ausgeschnittene 

 Curve 28 Doppeltangenten, welche zusammen alle In dieser 

 Ebene liegenden Strahlen des Systems ausmachen. Ich nenne 

 dasselbe deshalb ein Strahlensystem der 28ten Klasse. Ist nun 

 die Brennfläche vierten Grades des Strahlensystems eine solche, 

 welche 16 singulare Punkte hat, und folglich auch 16 singulare 

 Tangentialebenen, so erniedrigt sich die Klasse dieses Strahlen- 

 systems um 16 Einheiten, wenn man alle diejenigeu Strahlen 

 aussondert, welche In den 16 singulären Tangentialebenen lie- 

 gen und dieselben vollständig ausfüllen, well jede in einer sin- 

 gulären Tangentialebene willkürlich gezogene grade Linie eine 

 zweifach berührende Linie der Fläche Ist. Das Strahlensystem 

 wird also eines von der 12ten Ordnung und von der zwölften 

 Klasse. Betrachtet man nun die zwölf in einer beliebigen Ebene 

 t = Q liegenden Strahlen, welche zwölf von den Doppeltangenten 

 der aus der Brennfläche durch diese Ebene ausgeschnittenen 

 Curve sind, so kann man sich dieselben dadurch construlren, 

 dafs man aufser der einen Fläche mit 16 Doppelpunkten, welche 

 schon durch die ebene Curve vierten Grades geht, noch die 

 fünf anderen zugehörigen hindurchlegt, deren singulare Tan- 

 gentialebenen diese Strahlen aus der Ebene i = o ausschneiden. 

 Unter diesen fünf anderen Flächen ist eine, welche durch die 



