258 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Coefficienten der gegebenen Fläche und durch die Coefficienten 

 der schneidenden Ebene rational ausgedrückt wird. Mit der 

 gegebenen Fläche ist nämlich eine Wurzel u der Gleichung 

 dritten Grades, von welcher die Auffindung der 6 Flächen ab- 

 hängt, zugleich mit gegeben, und zwar rational durch die Coef- 

 ficienten der Fläche und Ebene ausgedrückt. Wählt man nun 

 als zweite Fläche diejenige, welche zu derselben Wurzel der 

 cublschen Gleichung gehört, und zu dem anderen Werthe 

 der quadratischen Gleichung, welcher hier ebenfalls rational 

 wird, da der erste Werth rational ist, so schneiden, wie die 

 vollständige Ausführung der Rechnung zeigt, die 16 singulären 

 Tangentialebenen dieser zweiten Fläche acht von den zwölf 

 Strahlen aus der Ebene aus. Ferner zeigt sich, dafs diese acht 

 Strahlen ebenso wie die singulären Tangentialebenen welche sie 

 ausschneiden paarweise genommen, d. h. je zwei durch eine 

 einzige Gleichung gegeben, durch die Coefficienten der gege- 

 nen Fläche und der schneidenden Ebene rational ausgedrückt 

 werden. Hieraus folgt, dafs das Strahlensystem zwölfter Klasse 

 in vier besondere Strahlensysteme zweiter Klasse und In eines 

 vierter Klasse zerfällt, welche abgesondert für sich durch Glei- 

 chungen darstellbar sind. Betrachtet man die polaren Strahlen- 

 systeme zu diesen, so erkennt man sogleich, dafs die vier Strah- 

 lensysteme zweiter Klasse auch von der zweiten Ordnung sein 

 müssen und dafs ebenso das Strahlensystem vierter Klasse auch 

 von der vierten Ordnung sein mufs. Man hat also folgenden 

 Satz: 



Das vollständige Strahlensystem 12ter Ord- 

 nung und 28ter Klasse, welches eine allge- 

 meine Fläche vierten Grades zur Brennfläche 

 hat, besteht, wenn diese Brennfläche vierten 

 Grades 16 singulare Punkte hat, erstens aus 

 16 Strahlensystemen, deren jedes nur aus allen 

 in einer Ebene liegenden graden Linien be- 

 steht, zweitens aus vier Strahlensystemen zwei- 

 ter Ordnung und zweiter Klasse, und drittens 

 aus einem Strahlensysteme vierter Ordnung 

 und vierter Klasse. 



