vom 18. April 1864. 259 



Durch diese besondere Eigenschaft der Flächen vierten Gra- 

 des mit 16 singulären Punkten, welche ich bei meinen Unter- 

 suchungen über algebraische Strahlensysteme, die ich später zu 

 veröffentlichen gedenke, gefunden und auf ganz anderem Wege 

 bewiesen habe, bin ich zuerst auf die Wichtigkeit dieser Flä- 

 chen vierten Grades aufmerksam gemacht worden. Man kann 

 diese Eigenschaft auch noch aus anderen Gesichtspunkten be- 

 trachten, z. B. wenn man die beliebige Ebene, in welcher die 

 12 Strahlen der vier Systeme zweiter Klasse und des Systems 

 vierter Klasse liegen, zu einer Tangentialebene der Brennfläche 

 werden lafst, so vereinigen sich je zwei dieser 12 Strahlen zu 

 einem einzigen; dieselben werden zu den sechs die Fläche in 

 einem und demselben Punkte berührenden Tangenten, deren 

 jede dieselbe noch in einem anderen Punkte berührt. Also: 



Die Gleichung sechsten Grades, durch welche 

 auf der allgemeinsten Fläche vierten Grades 

 die sechs Tangenten bestimmt werden, die 

 einen Berührungspunkt gemein haben, und die 

 Fläche aufserdem jede noch einmal berühren, 

 zerfällt für die Flächen vierten Grades mit 

 16 singulären Punkten in vier Faktoren ersten 

 Grades und einen Faktor zweiten Grades, wel- 

 che durch die Goordinaten des gemeinsamen 

 Berührungspunktes rational ausgedrückt wer- 

 den. 

 Nennt man die zwei Berührungspunkte einer und dersel- 

 ben Doppeltangente der Fläche zugeordnete Punkte der- 

 selben, so folgt hieraus weiter: 



Auf jeder Fläche vierten Grades mit 16 singu- 

 lären Punkten kann man auf vier verschiedene 

 Weisen einem jeden Punkte der Fläche einen 

 andern so zuordnen, dafs die Coordinaten des 

 zugeordneten Punktes durch die des gegebe- 

 nen und ebenso die Coordinaten des gegebe- 

 nen Punktes durch die des zugeordneten ra- 

 tional ausgedrückt werden. 

 Auf die Fresnelsche Wellenfläche angewendet werden diese 

 Sätze noch einfacher, indem für diese und alle ihr coUinearen 



