286 Gesammtsitzung 



lieh die Bestimmung der Anzahl der Klassen und der Gattun- 

 gen. Die hierbei entwickelten Methoden haben seitdem ihre 

 grofse Fruchtbarkeit in vielfacher Weise bewährt. Namentlich 

 sind dieselben für analoge Fragen aus höheren Gebieten der 

 Arithmetik mit Erfolg benutzt worden. Die Arbeiten Di- 

 richlet's über quadratische Formen mit complexen Coeffi- 

 cJenten, diejenigen des Hrn. Kummer über complexe Zahlen, 

 welche aus Wurzeln der Einheit gebildet werden, so wie end- 

 lich meine eigenen Untersuchungen über die arithmetischen Ei- 

 genschaften der singulären Moduln der elliptischen Functionen 

 verdanken die werlhvollsten und überraschendsten Resultate der 

 Anwendung eben jener Methoden. Aber auch für die Lehre 

 von den gewöhnlichen binären quadratischen Formen kann man 

 noch weiteren Nutzen daraus ziehen und sogar fast diese ganze 

 Theorie mit Hilfe analytischer Betrachtungen entwickeln, wenn 

 nur die einfachsten arithmetischen Grundbegriffe zuvor festge- 

 stellt sind. Bei einer derartigen Behandlungswelse der quadra- 

 tischen Formen ist die EInthellung des gesammten Stoffes in 

 zwei verschledeneTheile, wie sich dieselbe in der fünften Section 

 der „disquisitiones arithmeticae" vorfindet, im Wesentlichen bei- 

 zubehalten. Indessen ist in dem ersten elementaren Theile die 

 Lehre von der Reduction der Formen gänzlich auszuschliefsen, 

 weil die wichtigsten Resultate, zu deren rein arithmetischer Be- 

 gründung sie dient, sich anderweit ergeben. Ferner ist die 

 Lehre von den ambigen Klassen aus dem ersten Theile in den 

 zweiten zu verweisen, welcher die tiefer liegenden Eigenschaf- 

 ten der quadratischen Formen behandelt, weil bei einer solchen 

 Darstellungsweise die Theorie der Ambigen durch die der Com- 

 position begründet werden mufs. 



Nach diesen Vorbemerkungen will ich in kurzen Umrissen 

 andeuten, wie sich eine systematische Entwickelung der Theorie 

 der quadratischen Formen gestaltet, wenn man von den DI- 

 richletschen Methoden Gebrauch macht und zugleich rein arith- 

 metische Betrachtungen so viel als möglich ausschliefst. Ich 

 werde hierbei zuvörderst Gelegenheit nehmen, einige nicht 

 unwesentliche und in mancher Hinsicht vortheilhafte Modifica- 

 tlonen jener Methoden anzugeben, alsdann aber zu dem Haupt- 

 zwecke der vorliegenden Mittheilung übergehend eine der wich- 



