vom 12. Mai 1864 287 



tigsten Eigenschaften der quadratischen Formen in ganz directer 

 Weise auf analytischem Wege herleiten. 



Bedeuten (^4, B, C) und (a, 6, c) eigentlich primitive For- 

 men einer Determinante 1>, welche nur keine positive Quadrat- 

 zahl sein darf, so hat man vermöge des Begriffes der Äquivalenz 

 die rein formale Gleichung: 



I. T . SF(^, B) = '^F{aa^-i- 2bay -h c-y 2, aaß ■+■ b(aB -f- ßy)-hcyB)f 



wenn F irgend eine eindeutige Function zweier Variabein be- 

 zeichnet, und wenn dieSummatlon links auf alle möglichen Werthe 

 von A und B erstreckt wird, rechts aber einerseits auf alle Zah- 

 len üT, b, c, welche einem Systeme nichtäquivalenter Formen 

 angehören, andrerseits auf alle ganzzahligen Werthe von a, /3, <y, S, 

 für welche ctS — ßy = 1 ist. Mit dem Buchstaben r ist die An- 

 zahl der Transformationen einer Form in sich selbst bezeichnet 

 und es ist hierbei zu erinnern, dafs, wie die einfachsten arith- 

 metischen Betrachtungen zeigen, diese Anzahl mit derjenigen 

 der ganzzahligen Werthe von <, u übereinstimmt, für welche 

 die Gleichung: t^ — Du^=i stattfindet. Hieraus erhellt un- 

 mittelbar, dafs T den Werth 2 hat, wenn D negativ und seinem 

 absoluten Werthe nach gröfser als Eins ist. Ebenso leicht ist 

 einzusehen, dafs für positive Determinanten t entweder gleich 2 

 oder unendlich grofs sein mufs. Dafs aber der letztere Fall ein- 

 tritt, d. h. dafs die Feilsche Gleichung stets unendlich viele Lö- 

 sungen darbietet, soll hier nicht als bewiesen angenommen, und 

 es soll auch die Endlichkeit der Anzahl der Formen (a, &, c) 

 nicht vorausgesetzt werden, da sich diese beiden Eigenschaften 

 der quadratischen Formen als Folgerungen aus der obigen Glei- 

 chung I. ergeben. — Wenn man in dieser Gleichung nur je 

 eines der unendlich vielen Werthepaare für ß, 8 beibehält, 

 welche zu denselben Zahlen a, y gehören, so dürfen links für 

 jedes bestimmte j4 nur solche Werthe von B genommen wer- 

 den, welche für den Modul A mit einander incongruent sind. 

 Bezeichnet man die Anzahl derselben mit \//(/^), so ist als- 

 dann, wenn die Function F(^Aj B) von B unabhängig ist, die auf 

 die verschiedenen Zahlen B bezügliche Summation durch Hin- 

 zufügung des Factors \|/ (A) zu ersetzen. Die Gleichung I. ver- 



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