292 Gesammtsitzung 



ist, während T^ U die kleinsten positiven der Gleichung: 

 7'2 — ])ij2 __. j genügenden ganzen Zahlen bedeuten. 

 Die wesentlich formalen Umgestaltungen der Gleichung I., 

 welche zu der Gleichung lY. geführt haben, sind in gewissem 

 Sinne für jede beliebige Function / gestattet; aber es ist nicht 

 nöthig hierauf näher einzugehen, da die Zulässigkeit jener Um- 

 wandlungen an sich klar ist, wenn man speziell f(^z)=q^ setzt, 

 und da schon aus dem Bestehen jener Gleichung für diesen be- 

 sondern Fall deren allgemeinere Gültigkeit und Bedeutung un- 

 mittelbar hervorgeht. Die aus dieser Gleichung weiter zu ent- 

 wickelnden Folgerungen erlangt man auf die einfachste Weise, 

 wenn man wie Dirichlet für die Function /(z) eine negative 

 Potenz von z nimmt, deren Exponent seinem absoluten Werthe 

 nach gröfser als Eins ist, obwohl auch andre Specialisationen 

 von /(ä) — wie z. B. die Annahme : /(«) =q' — zu eben den- 

 selben Resultaten führen. 



Setzt man der Kürze halber 



so hat man, um die Endlichkeit der Klassenanzahl zu beweisen, 

 zuvörderst den W^erth jeder einzelnen auf eine bestimmte Form 

 (a, J, c) bezüglichen Summe : §%<^ {pc-, /) für ^ = zu ermitteln. 

 Diefs kann, ohne den allgemeinen Dirichletschen Satz (J. f. M. 

 Bd. 19 pag. 326.) zu Hilfe zu nehmen, in einfacher Weise ge- 

 schehen, wenn man von der Bemerkung ausgeht, dafs der Werth 

 von: 



x=aa 



zwischen den beiden Werthen des Ausdruckes: 



hy 



liegt, sobald für die ganze Zahl s die Ungleichheiten : % < j <Äy + 1 

 stattfinden. Hiernach wird nämlich, wenn ah^-^zbh-^c von 

 Null verschieden ist, der Werth der Doppelsumme: 



y=l x~t 



