vom 12. Mai 1864. 295 



Seite einen endlichen bestimmten Werth hat; und bei dem hier- 

 für erforderh'chen Nachweise bildet bekanntlich das Reciproci- 

 tätsgesetz die zahlentheoretische Grundlage. Die Anwendung 

 der Dirichletschen Methoden zeigt daher, dafs dieser Funda- 

 nientalsatz aus der Theorie der quadratischen Reste merk- 

 würdiger Weise auch als eigentliche Quelle für jene beiden 

 elementaren Haupteigenschaften der quadratischen Formen ange- 

 sehen werden kann. 



Im zweiten Thelle der fünften Section der „disquisitiones 

 aritkmeticae" sind folgende drei Punkte als Hauptziele der Un- 

 tersuchung zu betrachten: 



erstens: die Bestimmung der Anzahl der Ambigen; 

 zweitens: der Nachweis, dafs alle zum Hauptgenus ge- 

 hörigen Klassen durch Duplication zu erzeugen sind, oder 

 — was damit unmittelbar zusammenhängt — dafs s'ämmt- 

 llche Formen des Hauptgenus quadratische Werthe an- 

 nehmen können'); 

 drittens: die Ermittelung der Anzahl der Genera. 

 Durch die rein arithmetischen Methoden von Gaufs werden 

 diese drei Punkte in der angegebenen Reihenfolge erledigt, wäh- 

 rend dieselben bei Anwendung der analytischen Hilfsmittel In 

 umgekehrter Ordnung erörtert werden müssen. 



Die Anzahl der In Irgend einem Genus enthaltenen Klassen 

 ist nach Dirichletscher Weise zu bestimmen. Indem die Function / 

 In der obigen Gleichung IV. so gewählt wird, dafs 



X f(ax^ + Ibxy -f- cj^) 



für jede dem gegebenen Genus angehörige Form einen und den- 

 selben Werlh hat, für jede andre Form aber verschwindet. DIefs 

 geschieht unter Anderm, wenn man 



und alsdann ^ = o setzt. Die sämmtlichen Einzelcharaktere des 



') Näheres über den erwähnten Zusammenhang findet man auchjju.^ 

 zwei Abhandlungen des Hrn. Arndt (J. f. M, Bd. 56.). r^C/ük' C\4 /^ 



