300 Gesammtsitzung 



In den hier aufgestellten Gleichungen für a;, j, ö sind die 

 nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür enthalten, 

 dafs der Werth des Ausdrucks: A^x^ -i~2Bxy -^ Cy^ ein voll- 

 ständiges Quadrat werde; nämlich wenn für d, b irgend welche 

 der Gleichung: dB = D genügende Zahlen und für ^, *j irgend 

 welche beliebige ganze Zahlen gesetzt und alsdann x und y in 

 der angegebenen Weise bestimmt werden, so ist: 



WO der Kürze halber die drei ganzen Zahlen: 



drAf dsBy 



rA 



beziehungsweise durch /, m, n bezeichnet sind. Demgeroäfs han- 

 delt es sich nur noch darum, diejenigen Bestimmungen für 

 r, d, S, ^, Yj zu ermitteln, welche bewirken, dafs x und y auch 

 die übrigen oben für die Summation aufgestellten Bedingungen 

 erfüllen. 



Was zuvörderst den Werth von r anlangt, so sieht man 

 leicht, dafs derselbe sowohl Eins als Zwei sein kann, wenn D 

 durch 8 theilbar oder von der Form 4/2+3 ist. In allen andern 

 Fällen kann für r nur der Werth Eins angenommen werden. 

 Was ferner die Wahl der beiden Divisoren der Determinante d 

 und § betrifft, so erglebt eine einfache Diskussion der bei den 

 Zahlen x, y, A^ \j. vorausgesetzten Eigenschaften hierfür die fol- 

 genden Bedingungen: erstens müssen d und § den gröfsten ge- 

 raeinsamen Factor Zwei haben, wenn D grade ist und r = 2 

 angenommen wird; zweitens dürfen in allen übrigen Fällen d 

 und § gar keinen Theiler mit einander gemein haben; drittens 

 sind d und ^ dem Zeichen nach so zu bestimmen, dafs d stets 

 positiv ist. Endlich resultiren in ähnlicher Weise für ^ und >j 

 die einschränkenden Bestimmungen, dafs sie relative Primzahlen 

 sein und für den Fall positiver Determinanten den Ungleich- 

 heitsbedingungen : 



