vom 18. Juli 1864. 495 



Hr. Kummer machte folgende Mittheilung über die 

 Strahlensysteme, deren Brennflächen Flächen vier- 

 ten Grades mit sechzehn slngulären Punkten sind. 



In einer am 18. April d. J. gelesenen Abhandlung über die 

 Flächen vierten Grades mit sechzehn slngulären Punkten habe 

 ich nachgewiesen , dafs die Gesammtheit aller Ihrer doppelt be- 

 rührenden Tangenten stets aus mehreren getrennten Strahlen- 

 systemen besteht, namentlich aus vier Strahlensystemen zweiter 

 Ordnung und zweiter Klasse und einem Strahlensysteme vierter 

 Ordnung und vierter Klasse. Ich habe ferner bemerkt, dafs 

 dieses letztere Strahlensyslem bei der Fresnelschen Wellenfläche 

 und den coUInearen derselben ebenfalls in zwei getrennte Strah- 

 lensysteme zweiter Ordnung und zweiler Klasse zerfällt. Seit- 

 dem habe ich die Untersuchung: ob jenes Strahlensystem vier- 

 ter Ordnung und vierter Klasse für die allgemeinen Flächen 

 vierten Grades mit 16 slngulären Punkten noch welter zerleg- 

 bar ist, vollständig durchgeführt und gefunden, dafs dasselbe 

 stets aus zwei getrennten Strahlensystemen zweiter Ordnung 

 und zweiter Klasse besteht, so dafs also jede solche Fläche die 

 Brennfläche von sechs besonderen Strahlensystemen zweiter Ord- 

 nung und zweiter Klasse ist. 



Um diefs zu beweisen, will ich diese sechs Strahlensysteme 

 für die Fläche vierten Grades mit 16 slngulären Punkten, wel- 

 che in der Form 



(ayz-^bzx + c(l H- 2k)xy -{-dx + ey -^fz)^ — k k(k -f- i)xfp'q'=:0^ 



bz d 



A, ^=.^^__+_ 



, az e 



,=cx + - + ^—^, 



gegeben ist (siehe Gleichung 4., pag. 251 der Monatsberichte 

 d. J.), vollständig entwickelt geben. Es seien x, y^ z die Co- 

 ordlnaten eines beliebigen Punktes im Räume, ^, »j, ^, seien 

 proportional den Cosinussen der Winkel, welche die durch 

 ic, _/, z gehenden Strahlen mit den drei Coordlnatenaxen bilden, 

 so wird ein jedes Strahlensystem zweiter Ordnung und zweiter 

 Klasse durch zwei Gleichungen unter den Gröfsen x, j, ^, ^, ij, ^ 

 gegeben, deren eine in Beziehung auf ^, vj, ^ homogen und vom 



