498 Sitzung der physikaHsch-mathematischen Klasse 



welche gehörig entwickelt mit der gegebenen Fläche vollkom- 

 men übereinstimmt. 



Weil das vollständige Strahlensystem aller doppelt berüh- 

 renden Graden einer Fläche vierten Grades mit 16 singulären 

 Punkten aus sechs Strahlensystemen zweiten Grades besteht, 

 und je zwei Strahlen sich zu einem einzigen vereinigen, wenn 

 der Punkt von dem sie ausgehen auf der Brennfläche selbst 

 liegt, so folgt, dafs man einem jeden Punkte der Fläche sechs 

 andere so zuordnen kann, dafs die Coordinaten derselben durch 

 die des gegebenen Punktes rational bestimmt sind, und dafs 

 jeder der sechs zugeordneten Punkte mit dem gegebenen eine 

 und dieselbe Tangente hat. Nimmt man x, y^ z als den gege- 

 benen Punkt der Fläche und nennt x\ y\ z' die Coordinaten 

 des entsprechenden Punktes der reciproken polaren Fläche, ge- 

 nommen in Beziehung auf die Kugel a;^ -|- j^ -H ^^ = 1, be- 

 zeichnet man ferner die Coordinaten des dem a;, y^ z in Be- 

 ziehung auf das erste Strahlensystem entsprechenden Punktes 

 mit ^1)^1, Z\'' so hat man 





(^a-^Va^ -\)y'^z' 



^, 



(a + Va'' — i)z'—y''' 





— (a -i- Va^ _ 1) x' - 1 



Jl 



(a + Vaä _!)/_/ ' 





x'-ha-hVa"" -i 



(a + Va^ _ 1) z' — / 



Durch passende Änderung der Buchstaben und der Vorzeichen 

 vor den Quadratwurzeln erhält man hieraus ebenso die übrigen 

 fünf entsprechenden Punkte. Man erkennt hieraus, dafs die 

 rcciproke polare Fläche der ursprünglichen collinear ist, und 

 dafs es sechs verschiedene collineare Verwandlungen der reci- 

 proken polaren Fläche giebt, welche so beschaffen sind, dafs 

 der einem Punkte der gegebenen Fläche zugehörende Punkt der 

 reciproken Polaren in einen der sechs entsprechenden Punkte 

 der gegebenen Fläche übergeht. 



Die Gleichung der reciproken polaren Fläche für die Fläche 



cp^ = 16 Kxyz 



