vom 18. Juli 1864. 501 



Scheitel des letzten Tangentenpaares ausgebt, so überzeugt man 

 sich auch leicht davon, dafs jede Curve C nur eine Systems- 

 tangente bat. 



Um das Theorem zu beweisen betrachte man 3 beliebige Cur- 

 ven C,, C2, Cg der doppelt unendlichen Schaar und bezeichne mit 

 •^i2-)'^i3') «^23 die respectiven Scheitel ihrer gegenseitigen letz- 

 ten Tangentenpaare, dann kann man C^S^^^ C^Si^^ ^3*^12 ^Is 

 Curven 4ter Klasse ansehen, von denen jede in einen Punkt und eine 

 Curve 3ter Klasse zerfällt. Es haben daher Coty, 3 und CjiS", 2 16 

 gemeinschaftliche Tangenten, von denen 3 nothwendige sind, d. h. 

 jede Curve 4ter Klasse, welche 13 derselben berührt, hat auch 

 die übrigen 3 Tangenten. Eine solche Curve ist aber C^S^^, 

 sie hat nämlich aufser den 7 Tangenten G die beiden von S^ 2 

 an C, und Cg gelegten, sowie die beiden von iS", 3 an C, und 

 C3 gelegten, insofern als die Curve C, zu ihr gehört, ferner 

 die beiden von S.2s an C.2 und C3 gelegten, weil S^s zu ihr 

 gehört, was im Ganzen 13 giebt. Es bleiben noch die 3 Ver- 

 bindungslinien von Si2t »^13» *^2 3? welche die 3 nothwendigen 

 Tangenten sind, von diesen gehen zwei durch den Punkt Sg^, 

 die übrig bleibende Verbindungslinie von iS", 2 und «S'13 mufs 

 daher Tangente der Curve Cj sein, und in Folge dessen die 

 oben definirte Systemstangente T, denn da von S^^ nur eine 

 dritte Tangente an die Curve Cj gelegt werden kann, und statt 

 der C~ jede andere C^ gewählt werden darf, so folgt, dafs der 

 Ort aller mit »y, 3 analogen Scheitel S^ die gerade Linie T 

 sein mufs. 



TU) Aus dem Theorem folgt zunächst, dafs alle Systems- 

 tangenten der Curven einer einfa eben Schaar durch den Schei- 

 tel ihres letzten Tangentenpaares gehen müssen. Man kann 

 daher die Systemstangente T einer jeden Cuxve C dadurch con- 

 struiren, dafs man zu der letztern und einer beliebig andern Cf 

 den Scheitel des letzten Tangentenpaares construirt und von 

 demselben an C die dritte Tangente legt. 



IV) Es gehört umgekehrt zu jeder beliebig angenommenen 

 Geraden der Ebene eine und nur eine Curve, zu welcher 

 die Gerade Systemstangente ist. Um dies einzusehen beachte 

 man dafs in einer einfachen Schaar sich zwei Curven befinden, 

 welche durch den Scheitel des letzten Tangentenpaares hindurch 



