502 Sitzung der physikalisch-Tnathematischen Klasse 



gehen, nämlich diejenigen beiden Curven, welche je eine der 

 Geraden des Paares im Scheitel selbst berühren und in Folge 

 dessen, wegen III), diese Gerade zu ihrer Systemstangente 

 machen. Soll daher eine beliebige Gerade Systemstangente 

 einer Curve C werden , so betrachte man sie zuerst als ge- 

 wöhnliche 8te Tangente einer einfachen Schaar und bestimme 

 den auf ihr liegenden Scheitel d. h. den Punkt, wo die 9te 

 nothwendige sie schneidet- Die verlangte Curve C ist dann 

 diejenige in der einfachen Schaar, welche die gegebene Gerade 

 in dem bezeichneten Scheitel berührt. 



V) Die Sätze I, II, III, IV enthalten alle Elemente zur 

 Erledigung des vorliegenden Problemes. Es läfst sich nämlich 

 zunächst auf folgende eindeutige Weise eine allgemeine 

 Curve 4ten Grades finden, welche die 7 Geraden G zu Dop- 

 peltangenten hat. Man zerlege die doppelt unendliche Schaar 

 Curven dritter Klasse in solche einfache Schaaren, deren letztes 

 Tangentenpaar jedesmal aus zwei zusammenfallenden Gera- 

 den besteht. Die Curven einer solchen einfachen Schaar werden 

 sich alsdann sämmtlich in ein und demselben Punkte berühren, 

 und der Berührungspunkt wird der Scheitel der einfachen Schaar. 

 Die Curve 4ten Grades ist nun der Ort dieser Berührungs- 

 punkte. Da nämlich nach III) alle Systemstangenten der ein- 

 fachen Schaar durch den gemeinsamen Berührungspunkt gehen, 

 so kann man den letzten auf jeder Curve C dadurch finden, 

 dafs man den Durchschnittspunkt ihrer Systemstangente mit ihr 

 selbst aufsucht. Eine Curve dritter Klasse ist aber vom 6ten 

 Grade, ihre Tangente schneidet sie daher noch aufserdem in 

 4 Punkten. Nach IV) kann die Systemstangente jede beliebige 

 Gerade der Ebene sein und jeder der 4 Durchschnittspunkte mit 

 derselben gehört nach der obigen Entwicklung der verlangten Orts- 

 (urve an, daher wird dieselbe von jeder Geraden in 4 Punkten 

 geschnitten und ist somit vom 4ten Grade. Es bleibt noch zu 

 beweisen, dafs sie die 7 gegebenen Geraden G zu Doppeltan- 

 genten hat. Hiezu bemerke man, dafs in der doppelt unend- 

 lichen Schaar 7 specielle Curven 3ter Klasse existlren, von 

 denen jede eine der Geraden G zur Doppeltangente hat und da- 

 durch bestimmt ist. Da diese nach IV) gleichzeitig die Sy- 



