vom 18. Juli 1864. 507 



coordi'naten bezogen, so ist die Gleichung jeder andern von der 

 Form kC^ + IC^ -\-mC^ = Q^ wo Ar, /, m beliebige Constan- 

 ten sind. Ich wähle als C,, C2, C3 drei solche Curven, wel- 

 che in Punkt und Kegelschnitt zerfallen, und zwar soll der 

 Punkt jedesmal eine Ecke des Coordinatendreiecks sein und der 

 Kegelschnitt sowohl die gegenüberliegende Seite als die 4 aufser 

 dem Coordinatendreieck gegebenen Geraden G berühren. Dieses 

 vorausgesetzt will ich zunächst beweisen, dafs die Gleichungen 

 von 3 Kegelschnitten, welche je eine Seite des Coordinaten- 

 dreiecks und aufserdem 4 beliebige Gerade der Ebene gleich- 

 zeitig berühren, in ihrer allgemeinsten Form die folgenden sind: 



1. vV—wVF—Q, wfV—uU=% uU—vF=Q 



wo 



7^ = <y , M -I- y 2^ H~ 73*^ 



beliebige lineare Functionen bezeichnen. Das Charakteristische 

 der Gleichungen 1. besteht darin, dafs in denselben aufser m, r, w 

 nur drei lineare Functionen vorkommen, denn schon aus ihrer Form 

 folgt, dafs jeder der 3 Kegelschnitte, welche sie darstellen, je 

 eine Coordinatenaxe berührt, und dafs sie, weil jede dritte eine 

 lineare Folge der beiden andern ist, 4 gemeinschaftliche Tan- 

 genten haben. Um also zu zeigen, dafs diese Tangenten ganz 

 beliebige Gerade der Ebene sein können, hätte man die 8 Ver- 

 hältnisse der ^, /3, 7 . . . . so zu bestimmen, dafs zwei der 

 Gleichungen 1. Kegelschnitte darstellen , welche 4 beliebig ge- 

 gebene Gerade berühren, was 8 lineare Bedingungen zwischen 

 diesen Verhältnissen gäbe. Allein die Coefficientenabzählung 

 ist kein ausreichender Beweis für die allgemeine Gültigkeit der 

 Gleichungen 1. Es könnten in der That die beiden ersten 

 Gleichungen die Formen vP — wQ = Q^ wP^ — uQ^ =0 haben, 

 wo jP, ^, P,, ^, 4 lineare Functionen der m, v, w bedeuten, 

 und alsdann die dritte als lineare Folge aus den beiden abge- 

 leitet werden. Um nun zu zeigen, dafs sich die 4 Functionen 

 auf drei reduciren, setze man, was erlaubt ist, je einen Coef- 

 ficienten In den beiden vorstehenden Gleichungen = I nämlich 

 den Coefficlentexi von w in Q und jP,, schreibe die Gleichun- 



