vom 18. Juli 1864. 511 



zug auf M,, Vj, (V|, als Variabein, ein rationales Qua- 

 drat ist, denn in Bezug auf diese Yariabeln betrachtet, ist 

 4PR — Q^ z=o die Gleichung der 4 Punkte, welche die Gerade 

 ("o? ^0) ^o) ni't der Curve 4ten Grades gemein hat, und diese 

 müssen je zwei zusammenfallen, wenn (uq» ^'oi '^'o) eine Dop- 

 peltangente werden soll. Es wird aber die Discriminante APR — Q^ 

 auf doppelte Weise ein vollständiges Quadrat, nämlich wenn 

 entweder die Gl eichung i*= identisch stattfindet, 

 wodurch sie in — ^^ übergeht, oder wenn die quadratische 

 Gleichungö.: jP+ ^X -H ÄA^ = rationale Wurzeln hat, 

 weil die Discriminante dem Quadrate von der Differenz der 

 Wurzeln gleich ist. (Die Gleichung /? = läfst sich im All- 

 gemeinen nicht identisch erfüllen, und kann daher als Bedin- 

 gung nicht gelten.) 



Soll nun erstens P identisch verschwinden, so müssen, wie 

 aus 7. ersichtlich ist, die Bedingungen: 



11. «oC^^o^o— «'o^o) = Vo("o^o — «'o^o) = 



«'o (^0^0 — "o^o) = 



erfüllt werden. Diese Bedingungen haben aber die 

 Bedeutung, dafs die(Mo? ^o> **'o) eine Doppeltangente 

 der zu (mq» ^oi «"o) zugehörigen Curve Cq ist, wie man 

 sich sofort überzeugt, wenn man die 3 partiellen Ableitungen 

 von 4. nach den Variabein für die Werthe mq» *'o> **'o ^^^ 

 letztern verschwinden läfst. Die vorstehenden Bedingungen 

 lassen sich aber auf 7fache Weise erfüllen, nämlich wenn man 

 entweder zwei der Unbekannten uq, vq, wq selbst = Null setzt, 

 was die 3 Doppeltangenten x = o,j)' = o, z=o liefert, oder 

 wenn man 



12. UoUo=VorQ=(Voff^O 



setzt, und diese beiden in Bezug auf ug, vq^ wq quadratischen 

 Gleichungen auflöst, was 4 Werthensysteme für letztere giebt. 

 Läfst man k allmälig die Zahlen 1, 2, 3, 4 bedeuten, so will ich 

 die Auflösungen durch mo="*» ^o=*'*» «''0=«'* und daher 

 durch 



13. G^ = M^ x -f- r^ j -f- (v^ z =: 



