512 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



die 4 andern Doppeltangenten bezeichnen, welche aus 11. her- 

 vorgehen. 



.Es wird zweitens die andere Bedingung, welche die Dis- 

 criminante ^PR — Q^ zum vollständigen Quadrat macht, erfüllt, 

 wenn die entsprechende Curve Cq in Punkt und Kegelschnitt 

 zerfällt. Geht man nämlich auf die Entstehung der Gleichung 6. 

 zurück, so sieht man leicht, dafs sie aus einer cubischen her- 

 vorgegangen ist, welche einen evidenten rationalen Factor, 

 nämlich X hatte. Die cubische Gleichung mufs aber, wenn Cq 

 zerfällt, einen zweiten rationalen Factor erhalten, also ist es auch 

 der dritte, und es hat in Folge dessen die quadratische Glei- 

 chung 6. zwei rationale Wurzeln, was der Discriminante die 

 verlangte Eigenschaft ertheilt. Die Anzahl der zerfallenden Cur- 

 ven Cq beträgt, wie ich unter VIII) gezeigt habe, 21 und die 

 zugehörigen mq» ^o» «'o geben alsdann die übrigen 21 Doppeltan- 

 genten auf rationale Weise ausgedrückt durch die (w^, v^, w^) 

 in 13., wie auch noch die später folgende Rechnung zeigen wird. 



Geht man demnach von der Gleichungsform: 



■ Vx^-^ Yy} -i- Vzl = 



einer allgemeinen Curve 4ten Grades aus, so ist zunächst erfor- 

 derlich die den JT, F, Z entsprechenden linearen Functionen 

 f, ^, TV der w, v, w zu bilden. Die Vergleichung von 2. 

 mit 9. zeigt aber, dafs man ohne weiteres hiezu gelangt, wenn 

 man die Gleichungen 9. als eine Substitution an- 

 sieht, zu derselben die inverse transponirte Substi- 

 tution bildet und die «, r, w als Variabein der letz- 

 tern einführt. Geometrisch ausgedrückt, sind U=Q /^=o ?^=o 

 die Gleichungen der 3 Punkte, in welchen die Geraden 

 X=% r=0, Z = o sich schneiden. Vermittelst der ?7, ^, VT 

 erhält man dann einerseits die Gleichungen 4, der doppelt un- 

 endlichen Schaar Curven Cq, anderseits die beiden Gleichungen 

 zweiter Ordnung 12., aus welchen sich die 4 Doppeltangenten 

 G^ (13.) durch Auflösung einer biquadratischen Gleichung er- 

 geben. Eine weitere Irrationalität ist zur Berechnung der übri- 

 gen Doppeltangenten nicht mehr erforderlich, aber auch 

 diese Irrationalität kann vermieden werden, wenn 

 man gleich von vorne herein die Gonstanten a, ß^y ... 



