29 CARL FRIEDRICH GAUSS 



X = x m + n 4- c (cos e + i sin e) x m + f (cos <p + * sin p) = 

 wo e und / positive Grossen bedeuten: fiir einen reellen, positiven oder ne- 

 gativen, Coefficienten ist dann der betreffende Winkel (e oder <fT) entweder 

 oder 180°. Die Voraussetzung , dass m und n keinen gemeinschaftlichen 

 Divisor haben, wird ohne Beeintrachtigung der Allgemeinheit audi hier beibe- 

 halten bleiben konnen. Eine der Gleichung Geniige leistende imaginare Wur- 



zel x = t + iu setzt man in die Form r (cos g + i sin g), wobei es fiir 



unsern gegenwartigen Zweck vortheilhafter ist, die sonst gewohnliche Bedin- 



gung, dass r positiv sein soil, hier nicht zu machen, sondern anstatt derselben 



die, dass g immer zwischen den Grenzen und 180° genommen werden soil. 



In dem Fall, wo die Coefficienten der Gleichung beide reell sind, kann man 



den Umfang der Werthe von g noch weiter auf die Halfte verengen: denn da 



bekanntlich von den knaginaren Wurzeln einer solchen Gleichung je zwei zu- 



sammengehdren, wie / + iu und t — iu, so wird offenbar fur die eine Wur- 



zel jedes Paars der Werth von g zwischen und 90° fallen, und man braucht 



durch das indirecte Verfahren nur diese zu bestimmen, indem daraus die an- 



dere von selbst folgt durch Vertauschung von g mit 180° — g und von r 

 mit — r. 



IS. 



Das Wesen der Methode besteht in der Aufstellung einer Gleichung, 

 welche bloss g olme r enthalt. Urn dazu zu gelangen, setze man die Glei- 

 chung X — durch Division mit ihrem ersten Gliede in die Form 



1 -f- e (cos e -f- i sin <) x->* -f- f (cos rp -\- i sin <p) x-m—n — o 



oder 



1 -|- er -n (cos f ng— «) — i sin (ng— «)) -f- />—«.-,» ^ CO s ((»* -{- n) Q — 9 ) — i sin ((m -f- n) q — <p)} =z 



Da nun hier die iraaginaren Theile einander auflieben miissen, so hat man (I) 

 r m _ _ f9faCO + «0 g--ff) 



e sin (ng 



Auf ahnliche Art erhalt man, wenn man die Gleichung X = mit ihrem 

 zweiten oder dritten Gliede dividirt, und erwagt, dass in beiden Fallen die 



imaginaren Theile der neuen Gleichungen einander aufheben miissen, die Glei- 

 chungen 





