4 CARL FRIEDRICH GAUSS 





zuniichst nur das Vorhandensein Eines Factors der betreffenden Function er- 

 wiesen wird. Der Strenge der Beweise thut diess allerdings keinen Eintrag: 

 denn es ist klar, dass wenn von der vorgegebenen Function dieser eine 

 Factor abgeloset wird, eine ahnliche Function von niederer Ordnung zurtick- 

 bleibt, auf welclie der Lebrsatz aufs neue angewandt werden kauii. und dass 

 durch Wiederholung des Verfahrens zuletzt eine vollstandige Zerlegung der 

 urspriinglichen Function in Factoren der bezeichneten Art bervorgehen wird. 



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Indessen gewinnt ohne Zweifel jede Beweisfuhrung eine bdhere Vollendung, 



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geeignet ist, das Vorhandensein der 



lichen Factoren unmittelbar anscbaulich zu machen. Dass der erste Beweis in 

 diesem Fall ist, babe ich bereits in der gedachten Denkscbrift angedeutet 

 ([Art. 23) , ohne es dort weiter auszufuhren: dies soil jetzt erganzt werden, 

 und ich benutze zugleich diese Gelegenheit, die Hauptmomente des ganzen 

 Beweises in einer abgeiinderten und, wie ich glaube, eine vergrosserte Klar- 

 Jieit darbietenden Gestalt zu wiederbolen. Was dabei die aussere Einkleidung 

 des Lehrsatzes selbst betrifft, so war die 1799 gebrauchte, dass die Function 

 x n -|- Ax n — 1 -\- Bx n — 2 -|- u. s. w. sich in reelle Factoren erster oder zweiter 

 Ordnung zerlegen lasst, damals deshalb gewahlt, weil alle Einmischung imagi- 

 narer Grossen vermieden werden sollte. Gegenwartig, wo der BegrifF der 

 complexen Grossen jedermann gelaufig ist, scheint es angemessener, jene 

 Form fahren zu lassen, und den Satz so auszusprechen, dass jene Function 

 sich in n einfache Factoren zerlegen lasse, wo dann die constanten Theile 

 dieser Factoren nicht eben reelle Grossen zu sein brauchen, sondern fur 

 dieselben auch jede complexen Werthe zuliissig sein mussen. Bei dieser Ein- 

 kleidung gewinnt selbst der Satz noch an Allgemeinbeit , weil dann die Be- 

 schrankung auf reelle Werthe auch bei den Coefficienten A, B u. s. w. nicht 

 vorausgesetzt zu werden braucht, vielmehr jedwede Werthe fur dieselben 



zulassig bleiben. 



* * 



1. 



Wir betrachten demnach die Function der unbestimmten Grosse 



x» + Ax*-* -f- £*h-2 + u s w , Mx , N _ x 



