BEITRAGE ZUR THEORIE DER ALGERRAISCHEN GLEICHUNGEN. r> 



wo A, B M, N bestimmte reelle oder imaginare Coeflicienten vorstellen. 



Aus der Elementaralgebra ist der Zusammenhang zwischcn den Wurzeln der 

 Gleichung A' = und den einfachen Factoren von X bekannt. Geschieht 

 nemlich jener Gleichung durch die Substitution x=p Genuge, so ist x — p 

 ein Factor von X, und gibt es n verschiedene Arten, jener Gleichung Geniige 

 zu leisten, nemlich durch x=zp, x=p, x = p" u, s.w., so wird das Product 



(x — p) (x — p") (x — //') mit X identisch sein. Unter besondern Uni- 



stiinden kann aber audi eine AuflOsung, wic x=p, in X den Factor (x — ;?) 2 , 

 oder (x — p~) 3 oder irgend eine hohere Potenz bedingen, in welchcn Fidlen 

 man die Wurzel p wie zweimal, drcimal u. s.w. vorhanden bctrachlet. 



Verlangt man also nur den Beweis, dass die Function X gcwiss cincn 

 einfachen Factor zulasse, so ist es zureichend, nur das Vorhandensein irgend 



einer Wurzel der Gleichung X= nachzuweiscn. Soil aber die vollstandige 

 Zerlegbarkeit der Function in emfache Factoren auf Einmal bewiesen werden, 

 so muss gezeigt werden, dass der Gleichung X = Geniigc geleistet werden 

 kann, entweder durch n ungleiche Werthe von x, oder durch eine zwar <re- 



gleicher Audosungeti, wovon aber ein Theil die Char 



der mehrfach geltenden gleichen Wurzeln dergestalt an sich tragt, dass die 



Zusammenziihlung aller ungleichen und gleichen die Totalsnmme = n her 



vorbringt. 



2. 



Das ganze Gebiet der complexen Grossen, in welchem die der Gleichung 

 X=0 genugenden Werthe von x gesucht werden sollen, ist ein Unendliches 

 von zwei Dimensionen, indem, wenn ein solcher Werth x = t-\-iu gesetzt 

 wird (wo * immer die imaginare Einheit yf — 1 bedeutet) , fiir t und u alle 

 reelien Werthe von — 00 bis + oo zulassig sind. Wir haben nun zuvorderst 

 aus diesem unendlichen Gebicte ein abgegrenztes endliches auszuscheiden, 

 ausserhalb dessen gewiss keine Wurzel der bestimmten Gleichung A' = lie- 

 gen kann. Diess kann auf mehr als Eine Art geschehen: unserm Zweck am 

 meisten gemiiss scheint die folgende zu sein. 



Anstalt der Form f-f-ia gebrauche man diese 



t 



x = rfcosp -f • sin q), 



«• V 



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