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CAUL FRIEDRICH GAUSS 



wonach zur Umfassung des ganzen unendlichen Gebiets der complexen Grossen 

 r durch alle positiven Werthe von bis + 00, und g von bis 360°, oder, 



was dasselbe ist, von 



beliebigen Anfangswerthe bis 



360 



grossern Endwerth ausgedehnt werden muss. 



Um fiir r erne Grenze zu erhalten, iiber welche Mnaus kein Worth mehr 

 einer Wurzel der Gleichung, X=0 entsprechen kann, setze ich zuvorderst 

 die Coefficienten der einzebien Glieder von X in .eine almliche Form, wie x 



K ,.*~ 



nemlich 









A 

 B 

 C 



a (cos ct + i sin a) 

 b (cos 6 -\- i sin £) 

 c (cos y + i sin y) 





wo also a, b, c bestimmte positive Grossen bedeuten sollen, abgesehen 

 dass auch eine oder die andere darunter 



_ r 



sein kann. Ich betrachte so 



dann die Gleichung 



r 



n 



V~2 . Qar"— 1 4- br n ~ 2 -f- cr»~ 3 -f- u. s. w.) 







welche, wie man leicht sieht, eine positive Wurzet hat, und zwar (Harriots 

 Lehrsatz zufolge) nur Eine solche. Es sei R diese Wurzel, wo dann von 

 selbst klar ist, dass fur jeden positiven Werth von r, der grosser ist als R, 



der Wertk von r n — y/ r 2.(ar H ~' 1 -\-br n — 2 -\-cr n ~ 3 -\- u.s.w.) positiv sein, und 



3 



dass dasselbe auch von der Function 





nr 



n 



V"2.rc 



n 



1 ) ar n 



l 



+ 



2) br n 



2 



+ c» 



3) cr n 



-\- u.s.w.) 



gelt en wird, da dieselbe das wfache der erstern Function um 



V~2 . tar"- 1 + 2 br»-* + 3 cr«-* + u. s. w.) 

 also um eine positive Differenz ubertrifft. 



Ich behaupte nun, dass die Grosse R geeignet ist ? eine solche Grenze 

 fiir die Werthe von r, wie im vorhergehenden Artikel gefordert ist, abzugeben. 

 Der Beweis dieses 



Satzes ist auf folgende Art zu fuhren 



Ich setze allgemein X 

 Grossen bedeuten, und zwar wird 



4- ill. wo selbstredend T 



U reelle 



T 



n§ + 



-f- cr" 



l 



3 



i)$ + «0 + fr- 



3)? + y) + «• 



•2 



2)? + 



'* 



