12 CARL FRIEDRICH GAUSS 



wird, wozu hier derjenige gewahlt werden soil, in welchem die Bezifrungen 

 der Punkte von K wachsen (also, Beispiels halber in unserer Figur so, dass 

 die Flache immer rechts von der Begrenzungslinie liegQ, der Anfangspunkt 

 und der Endpunkt eines der Kreislinie angehorenden Stiicks beziehungsweise 

 durck eine gerade und die urn eine Einheit grossere ungerade Zahl bezeich- 

 net sein wird, mithin der Anfangspunkt und der Endpunkt jedes den innern 

 Raum durchlaufenden Stiicks allemahl beziehungsweise durch eine ungerade 

 und eine gerade Zahl. 



Es steht also fest, dass von den n an einem nut einer ungeraden Zahl 

 bezeichneten Punkte von K in den innern Raum eintretenden Linien, in denen 



uberall T = ist, eine jede auf eine ganz bestimmte Art *") diesen Raum 



zusammenhangend durchliiuft, bis sie an einer andern mit einer geraden Zahl 

 bezeichneten Stelle wieder austritt. Da nun, wie schon oben (Schluss des 

 6 Art.) bemerkt ist, in ihrem Anfangspunkte der Werth von U positiv, am 

 Endpunkte negativ ist, so muss wegen der Stetigkeit der Werthanderung noth- 

 wendig in einem Zwischenpunkte V = werden. Dieser Punkt reprasentirt 

 dann eine Wurzel der Gleichung X = 0; und da die Anzahl solcher Linien 

 n ist, so ergeben sich auf diese Weise allemahl n Wurzeln jener 

 Gleichung. 



9. 



Wenn die gedachten Linien durch den Kreisraum gehen ohne ein Zu- 

 sammentreflen mit einander, so ist klar, dass die so erhaltenen n Wurzeln 



*) Dass sie allemahl einen ganz bestimmten Lauf hat, beruhet darauf, dass sie einen 

 Theil der aussern Abgrenzung einer Flache, fur welche T ein bestimmtes Zeichen 

 hat, ausraachen soil: ich habe das positive Zeichen gewahlt, was an sich ganz 

 willkiirlich ist. So verstanden setzt sich z. B. die in 1 eintretende Linie durch 

 11 nach 10 fort: als Theil der Grenzlinie einer Flache. worin T negativ ist, wurde 



nur 



die Linie 1.11 nach 2 fortgesetzt werden miissen. 

 einer Linie worin T = ist, ohne sie als Theil der Begrenzung einer bestimmten 

 Flache zu betrachten , so wurde eher 11.9 als naturliche Fortsetzung von 1.11 

 gelten konnen. Der hier gewahlte Gesichtspunkt unterscheidet mein gegenwarti- 

 ges Verfahren von dem von 1799, und triigt wesentlich zur Vereinfachung der 

 Beweisfiihrunar bei. 



