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BEITRAGE ZUR THEORIE DER ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. 13 



nothwendig ungleich sind. Ein solches freies Durchgehen findet sich in unsrer 



Figur bei den Linien von 3 nach 8, von 5 nach 4 mid von 7 nach 6, und 



es gehoren dazu die durch die Punkte 0, 12, 13 rcpruscnlirtcn Wurzeln. 



Wenn hingegen zwei soldier Linien, oder mehrere, einen Punkt gemeinschaft- 

 lich haben, so ist zwar darum noch nicht nothwendig, aber doch moglich, dass 

 dieser Punkt zugleich derjenige ist, in welchem U = wird, in welchem 

 Falle dann zwei oder mehrere Wurzeln in Eine zusammciilullcn, oder, wie es 

 gewohnlich ausgedriickt wird, unter sich gleich sein wcrdcn. In unsrer Figur 

 treffen die Linien 1.10 und 9.2 ill dem Punkte 11 zusammen, und in demsel- 

 ben wird zugleich U = 0; die Gleichung hat also ausser den schon aufge- 

 fiihrten drei ungleichen noch zwei gleiche Wurzeln. 



Es bleibt nur noch iibrig, nachzuweisen, dass wenn der eine Wurzel 

 repraesentirende Punkt P in zweien oder mchrern Linien T=0 zugleich 

 liegt, das Quadrat von x — p oder die der Anzahl jener concurrirenden Linien 

 entsprechende hohere Potenz in X als Factor enthalten sein wird. Der Be- 

 weis davon beruhet auf folgenden Sateen. 



Man fiihre anslatt der unbestimmten Griisse x eine andere s ein, indem 



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man x = z +p setzt. Es gehe durch diese Substitution X in Z iiber, wo also 

 Z eine Function von z von gleicher Ordnung wie X von x sein wird, deren 

 constantes Glied aber fehlt. Indem man dieselbe nach aufsteigenden Potenzen 

 von z ordnet, sei das niedrigste nicht verschwindende Glied 



K z m und Z = Kz m (1 + ^) 



wo I die Form L z -f L'zz -f L"z 5 + u. s. w. + —z n — m haben wird ; end- 

 lich setze man 



z = s (cos 4» -p- i sin -v|/). 

 Der reelle und der imaginare Bestandtheil von z driicken die Lago jedes 

 unbestimmten Punkts der Ebene als rechtwinklige Coordinaten, und die Grossen 

 Sj 4> die Polarcoordinaten ganz eben so relativ gegen den Punkt P aus, Avie 

 die Bestandtheile von x, und die Grossen r, <p die relative Lage gegen den 

 ursprunglichen Anfangspunkt bezeichnen. Die Verbindung eines bestimmten 

 Werthes von $ mit alien Werthen von 4» in einer Ausdelmung von 360° 



