14 CARL FIUEDRICH GAUSS 



stellt also die Punkte einer Kreislinie dar, die ihren Mittelpunkt in P hat und 



deren Halbmesser = * ist. 



Setzt man nun K = k (cos x -f- i sin x) , und folglich 



Kz m = ks m (cos (m \p + x) + i sin (m ^ + xj) 

 so wird fur ein unendlich kleines s die Grosse £ die wenigstens von dersel- 

 ben Ordnung ist wie s, neben der 1 vernachlassigt, und mithin gesetzt wer- 

 den diirfen 



T = k s m cos (in -ty -\ 



woraus erhellet, dass wahrend -^ um 360° wachst, das Zeichen von T in m 

 Stiicken der Kreisperipherie positiv, und in eben so vielen mit jenen abwech- 

 selnden negativ ist, oder dass T in 2m Punkten = wird, nemlich fur 



-Qx — 90°), - O + 90°), 1 O + 270°) u. s. w. Es gehen dem- 

 m m m 



nach von P zusammen 2 m Linien aus, in denen T = ist, oder wenn man 



sie paarvveise so verbindet, dass jede, wo, bei wachsendem y\> , das Zeichen 



aus — in -f* ubergeht, zusammen mit der nachstfolgenden, wo der entgegen- 



gesetzte Ubergang Statt findet, wie die Begrenzungslinie eines Flachentheils 



mit positivem T betrachtet wird, so treffen in P iiberliaupt m dergleichen Be- 



grenzungshnien zusammen. 



Von der andern Seite ist klar, dass so wie Z unbestimmt durch z m und 



durch keine hohere Potenz von z theilbar ist, X den Factor (x — p) m , aber 



keine hohere Potenz von x — p enthalten wird. Es ist also allemahl , wenn 



p irgend eine Wurzel der Gleichung X=0 bedeutet, der Exponent der hoch- 



sten Potenz von x — p, durch welche X theilbar ist, der Anzahl der in P 



zusammentreffenden Begrenzungslinien fiir Flachen mit positivem T gleich, oder 



was dasselbe ist, der Anzahl solcher an P zusammentreffender Flachen. 



Ubrigens ist es leicht, der Beweisfiihrung eine von Einmischung unend- 



lich kleiner Grossen ganz unabhangige Einkleidung zu geben, und zwar ganz 



analog der Schlussreihe in den Art. 3 und 4. Es lasst sich nemlich ein Werth 



von s nachweisen, fur welchen, so wie fur jeden kleinern, der ganze Cyklus 



aller Werthe von -vp dieselbe abwechselnde Folge von m Stucken mit positi- 



vem T und ebensovielen mit negativem darbietet. Diese Eigenschaft hat die 

 positive Wurzel der Gleichung. 



