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CARL FRIEDRICH GAUSS 



stern Falle hat die Gleichung <*■+■ — ex m + f = gar keine (positive) 

 Wurzel, im andern zwei. In dem specicllen Falle, wo 



m m n n 



X 



ist, fallen beide Auflosuugen zusammen, und die Gleichung hat zwei gleiche 

 Wurzeln, wofur man nach Gefallen eine der drei Formeln benutzen kann 



• fm f Cm + n) em 



x m + n = — , x m = — — ! — - , x* — 



n en m -+- n 



Was ubrigens in dem Falle, wo zwei Auflosungen wirklich vorhanden 

 sind, die Octanten betrilft, in welche die Werthe von fallen, so sieht man 



leicht, dass wenn X grosser ist als -— j_, beide Werthe von mit 0* in 



2 m + n 



demselben Octanten liegen, nemlich im ersten oder zweiten, jenachdem m 



1 



kleiner oder grosser ist als n\ ist hingegen X kleiner als ^77^ so wird der 



eine Werth von 6 im ersten, der andere im zweiten Octanten zu suchen 

 sein. In dem speciellen Falle, wo X = — r-, ist 45° selbst der eine Werth 



2 m T U 



von 0, und der andere liegt in demselben Octanten wie 6*. 



Es mag noch die aus dieser Zergliederung aller drei Formen sich leicht 

 ergebende Folge bemerkt werden, dass unsere Gleichung (msofern wir an- 

 nelimen, dass m und n keinen gemeinschaftlichen Divisor haben) nicht mehr 

 als drei reelle Wurzeln haben kmin, was auch aus andern Grunden bekannt ist. 



141. 



Die vorstehenden Vorschriften werden nun leicht in diejenigen umge- 

 schmolzen, die der Anwendung der Hiilfslogarithmen entsprechen, da diese, 

 A = log a, B — log b, C = log c, betrachtet werden konnen wie die Log- 

 arithmen der Quadrate der Tangenten, Cosecanten und Secanten der von 45° 

 bis 90° zunehmenden, oder, was dasselbe ist, wie die Logarithmen der Qua- 

 drate der Cotangenten, Secanten und Cosecanten der von 45° bis abneh- 

 menden Winkel, also 



