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gmig des Blattes, von selbst dortliia sich zu beugen, entgegenkomme. Der cigenliiclie Zweck der 

 Wicklung nach der hintern Blatttläche zu, ist aber wahrscheinlich der, dass sich hier die Eibe- 

 hiilter besser ausliilhicn lassen als an der vordem Fläche, und vielleicht auch, weil die vordere 

 nach Aussen gekehrte , glatte Fläche den Regen abgleiten lässt. Endlich glaubt Häher noch aut 

 den Umstand aufmerksam machen zu müssen, dass der Käfer mit dem dünnern und 'gewandtem 

 Tliclle seines Körpers, mit dem Kopfe, nach oben, zwischen die enganschliessenden Larrcn an 

 der Spitze und mit dem breilern Tiieile seines Körpers nach unten, wo der grössere Raum «e- 

 k(dirt sei. 



Die folgende mathematische Betrachtung der Arbeit des Trichterwieklers ist von Herrn 

 E. Heis bearbeitet. 



ITIatlieinatiscIie Uiitprsueliiing: über die Form des vom Rliyiicliites Betulae 



gebildeten Trichters. 



Zur "enauen Unlcrsucliuna der mathemalischen Form des aufgewickelten Trichters sowohl, 

 wie auch der beiden seitlichen gekrümmten Schnittlinien der Blallllächen eignen sieh am besten 

 die aus den Birkenblättern geformten Trichter. Bei diesen nur treten die Formen bestimmter 

 hervor, so dass sich an denselben am deutlichsten erkennen lässt, welches wohl das Princip sein 

 möchte, nach welchem der Käfer seine Arbeit vollführt. Fig. 3 stellt die Abzeichnung eines ab- 

 gewickelten unil in eine Fläche ausgebreiteten Tiichlcrs dar, der zuxcu- durch einen leisen Druck 

 al)geplattet wurde, um die Riehtungen der geraden Linien angeben zu kimnen, nach welchen der 

 Käfer die AuiVoilung des Blattes zum Trichter vornimmt. Die Theile A. B. C, D, E, F, G, H 

 U.S.W, sind Halbwindungen des entfalteten Trichters ; ah, eil, af, i^h, ik, Ini, no, pfj, rs, tuu.s.vi. 

 geben die Richtungen an, längs uelcbcn die xVIju ickclung erfolt^t. 



Aus sorgfältiger Vergleicluuig einer IMcngc abgewickelter Triclilcr ergeben sich nun tol- 

 gende Resultate: 



1) Die Breiten der Halbwindungen A, B, C, D, E, F, G, H u. s. w. nehmen allmählig von 

 Innen nach Aussen zu. 



2) Die Längen der Halbwindungen nehmen von Aussen nach Innen bis zum Mittelblattnerven 

 allmählig zu, von hier ab aber wieder allmählig ab. und zwar so, dass nahe ej' = gh, cd = ih, 

 ah = Im. 



3) Die Linien gh, ik, Im, no, jx/ u. s. w. , längs welchen die Abwickelung geschieht, sind 

 Tangenten an der krunnnen Linie gilnprtv, welche der Käfer in das Blatt einschneidet. 



Diese letzte der drei Eigenschaften, verliuudcn mit einer andern, dass nämlich die Tan- 

 genten Im, HO, pa , rs. tu, t'^v u. s. w. sehr nahe auf der Linie hiiwijsuw , der äussern Blatt- 

 gränzc, senkrecht stehen, giebt auf eine merkwürdige Weise das malhcmalische Verhältniss der 

 Abhängigkeit der Schnittlinie giliiplv, wenn auch nur des grössten Tlieils derselben, zur äusseren 

 Blattgränzc wusqoinhh an. Denkt man sich Fig. 4 um eine krumme Linie, sei es eine Kreislinie 

 oder irgend eine andere Linie. xktU, einen biegsamen Faden ohne Dicke gelegt, dessen Ende in 



