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.r sicli befindet, und denkt man sicli diesen Faden von der krummen Linie xiv/i dci'gcslalt abge- 

 wickelt, dass er immer gespannt bleibt; so kommt dieser Faden allmäblicb in die Lagen uw, rsj, 

 HO, liHj ik und es ist die gerade Linie vw gleich dem Bogen yx j die gerade Linie js gleich dem 

 Bogen rcjc, ferner Im =. Inrvx, ik := iliirvjc u. s. w. 



Bei stätiger Abwicklung (Evolution) des Fadens beschreibt der Endpunkt ,a,' eine krumme 

 Linie .rn'.rowÄ- , deren jNatur von dir iNaiur der erstem krummen Linie Xi'ili abhängig ist. Die 

 auf diese Weise erzeugte Linie lu-isst die Abwicklungslinie Evolvente (Developpante) , die ur- 

 sprünglich gegebene Linie aber die Unnvickluiigslinie , Evolute (Developpce). 



Die pjvolution einer krummen Linie ist zuerst von dem holländischen Physiker und Ma- 

 thematiker Hujgens eingeführt worden, und zwar in seinem, 1673 herausgegebenen Werke »horo- 

 logiiim oscillatoriunm. 



Ausser der oben angeführten Haupteigenschaft der Evolvente, dass die Tangenten Fig. 4 vw, 

 7'Sj HO, Im, ik den Bogen vx, rx. Ix, ix gleich sind, giebt es noch eine zweite Eigenschaft, welche 

 aus der Art der Erzcueuii" der krummen Linie sich leicht darthun lässt, dass nämlich die Linien 

 yw, rs, HO, Im, ikj welche Radien der Evolvente heisscn, auf, die Evolvente xwsomk senkrecht 

 stehen. Die Abhänaigkeit der Evolvente von der Evolute lässt sich mathematisch so ausdrücken: 

 ist die Gleichung der Evolute 4' (^ > j) ^ o 



so ist: " - 



X 



/ . / sdx , / ' ^ dy' 



: . — (s + a) ,- , , y = Y — (s + a) /, 



d 



s 



wo s =. dv' + dj'j aus den beiden Gleichungen und der gegebenen Gleichung der Evolvente 

 eliniinire njan die Griisscn x', j' , wodurch man eine Gleichung zwischen x und j erhält, welches 

 die gesuchte (jleichung der Evolvente ist. 



In Bezug auf die uiailicniaiische Eigenschaft einer Kreisevolvente miige noch angeführt 



ik- 

 werden. dass (Fig. 4) die Länge des Bogcns xwsomk — , wo ik der Radius der Evolvente und 



Q der Radius ax der Evolute ist — und dass der Inhalt des Stückes ikmoswxvrnli, welches zwischen 



... ik'' 



dem Kreise und seiner Evolvente liegt =^ ist. Die Gleichung für die Kreisevolvente ist, wenn 



*' Öp ^ 



Vi"^ — P' 

 [^ xani — A. der Radius ax = p, am = r gesetzt w^iid : i\X =. '— dr. 



Die Abhängigkeit zwischen der Evolvente und der Evolute ist nun aber von der Art, dass 

 nicht allein aus der Evolute die Evolvente, sondern auch umgekehrt aus der Evolvente die Evo- 

 lute construirt werden kann. 



Eine solche nialhematische Beziehung, wie sie zwischen E\olviine und Evolute besteht, 

 scheint nun gemäss der in iNi'. 3 angeführten Eigenscdiaflen zwischen dem Sfiirmigen Blatlsehnilte 

 gilnpiLu und der äussern Blattgvänzc wtisqomkh Fig. 3 Statt zu finden. Der Käfer führt demnach 

 praktisch die mathematische Aufgabe aus, aus der Evolvente die Evolute zu construiren ; er befin- 

 det sich beim Schneiden des Blattes jedesmal so weit von dem Rande des Blattes, nach welchem 

 die Längenachse des Körpers gerichtet ist, entfernt, als die Länge des Schnittes beträgt, den er 

 schon gemacht. 



