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neuerdings Cayley!) theils mit neuen Beweisen versehen, theils erweitert 
worden. Die verschiedenen zum, Beweise des Satzes angeprandieg Methoden 
sind für den Zweck der gegenwärtigen Untersuchung weniger von unmittel- 
barem Interesse als die Erweiterungen desselben, welche als Anbahnung der 
Verallgemeinerung betrachtet werden dürfen, die den eigentlichen Gegenstand 
der vorliegenden Abhandlung bildet. Cauchy hat neben einem neuen Be- 
weise dem Satze die Erweiterung gegeben, dass er sich auf ein zusammen- 
hängendes Aggregat von Polyëdern, gleichsam mit Intercellularwänden ver- 
sehen, bezieht, wo die im Euler’schen Satze vorkommende constante Zahl 2 
durch P +1 ersetzt wird, wenn P die Zahl der Raumtheile oder Partialpo- 
Iyeder bedeutet, welche das polyödrische Aggregat bilden. Während aber 
Euler und Cauchy andere als sogenannte convexe Polyöder — sei es 
stillschweigend, sei es ausdrücklich — von der Betrachtung ausschliessen, 
hat Lhuilier die sogenannten Ausnahmefälle, in welchen sich der Satz in 
der Euler'schen Fassung nicht. verifieirte, betrachtet und dem Theorem eine 
auch diese ‚exceplionellen Fälle umfassende. Erweiterung zu geben. gesucht. 
Die drei Arten dieser ‚sog. Ausnahmen, nach‘ Lhuilier's Meinung die einzig 
möglichen, führen. auf die allgemeine Relation 
F+S=A4+ 26-041) 4 PEPP) 
wo ¿ die Anzahl eingeschlossener Poly&derräume im Innern eines grösseren 
Polyeders, o die Anzahl von durchgehenden Oeffnungen, p, p’, u. s. w. die 
Anzahl von eingeschriebenen Polygonen auf Seitenflächen des Polyeders be- 
deutet, welche dadurch ringförmige Zusammenhänge (nach unserer Ausdrucks- 
weise Cyklosen) annehmen, wo ferner F die Zahl der Seitenflächen, S die 
Zahl der Ecken, A die Zahl der Kanten bezeichnet. Nur ist hierbei die aus 
der inductorischen Ausdehnung des Falles o— 1 auf Fälle complicirter Durch- 
1) in einem erst nach Abschluss der vorliegenden Untersuchung bekannt, gewor- 
denen Aufsatz „on the Partitions of a Close“ in Lond. Edinb. Dubl. Philosophical 
' Magazine 1361. June pag. 424. Die. hier mehr ‚angedeulete als durchgeführte 
Ausdehnung des Euler’schen Satzes auch auf krummlinige Flächenbegrenzungen 
bezieht sich wesentlich nur auf Linear -Configurationen in der Ebene oder auf 
der Kugelfläche. = 
