DER CENSUS RÄUMLICHER COMPLEXE. 99 
löcherungen, wo der numerische Werth von o nicht sofort aus blosser Intui- 
tion hervorgeht, erwachsende Schwierigkeit weder erwogen noch erledigt. 
Wir haben es im Folgenden nicht bloss mit Polyödern irgend welcher 
Art und ihren Zusammensetzungen zu einer oder beliebig vielen ausser- oder 
ineinander bestehenden Gruppen, sondern mit räumlichen Complezen überhaupt 
zu thun, wie wir beliebige Aggregate von Punkten, Linien (gerade oder 
krumm) und Flächen (eben oder gekrümmt) nennen werden, durch welche 
der unbegrenzte Raum auf. beliebige Weise vollkommen oder unvollkommen 
getheilt, die Theile auf beliebige Art, vollständig oder Iheilweise begrenzt 
werden. Je grösser aber die Allgemeinheit ist, welche man erzielt, desto 
schärfer müssen die Ausgangspunkle in ihren Begriffen festgestellt werden, 
will man nicht Gefahr laufen, der Allgemeinheit durch Unbestimmtheit oder 
Willkür ihren Werth zu entziehen. Während bei einem Polyöder kaum be- 
vorwortet zu werden braucht, was man unter Eckpunkten, unter Kanten und 
Seitenflächen zu verstehen hat, genügt es in dem verallgemeinerten Gebiet 
räumlicher Complexe nicht, von einem Quadrat oder von einem Tetraöder zu 
sprechen; man muss vielmehr ausdrücklich angeben, ob das Quadrat bloss 
vier Seiten und vier Ecken, oder ob es auch eine Fläche besitze, die von 
den Linien der Figur eingeschlossen oder begrenzt wird, und ebenso ob das 
Tetraöder ausser seinen vier Ecken und sechs Kanten alle vier Seitenflächen, 
wie an einem soliden Körper, oder nur einige oder gar keine besitze, ähnlich 
einem Drahtgestelle mit oder ohne Papierwand, 
Die genauer definirten Elemente und die aus ihnen zusammengesetzten 
Complexe werden nun zunächst, wie im Euler’schen Satze, gezählt, nur dass 
wir nicht bloss, wie dort, drei Zahlen — der Ecken, Kanten und Flächen — 
sondern vier, nämlich der Punkte, Linien, Flächen und Räume auszumitteln 
haben, welche alsdann durch das allgemeine Theorem mit einander in Rela- 
tion treten. Es wird sich aber zeigen, dass das Theorem nicht die blosse 
Zahl jeder Art von Elementen, sondern für jedes Element noch eine nume- 
rische Modification erforderlich macht, der zu Folge der Satz nicht unmittelbar, 
sondern bloss mittelbar auf einer Zählung beruht, und so gleichsam in einem 
nach gewissen Rangklassen innerhalb der einzelnen Kategorien von Elementen 
geregelten Census besteht. Dieser Punkt in der Verallgemeinerung ist so 
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