148 BE B. LISTING, 
a—b+e = (d- 1) ohan (d—2)9” 
‚ Da aber nach dem 4. unserer obigen Sätze 8” = 1, ER 2, so ist 
a—b+c = Yd—1)—(d—?2) = d 
oder, was zu beweisen war: 
a—b+e~d = 0. 
35. 
Beispiele zu dem vorigen Salze. 1. In jedem gewöhnlichen durch innere 
Punkte, Linien und Ebenen in polyedrische Räume getheilten Polyeder ist die 
Zahl sämmtlicher Eckpunkte, der inneren wie der äusseren , plus der Zahl 
sämmtlicher Flächen, weniger der Zahl sämmtlicher Kantenlinien um die Ein- 
heit grösser als die Anzahl der polyödrischen Theile, oder wenn die Zahl 
der. Eckpunkte durch S, der Flächen durch F, der Kanten durch A und der 
polyedrischen Theile durch P bezeichnet wird (wo also amaS b = A,.c= F, 
d = P4 1: 
SpE A+P+1 
Dies ist die von Cauchy, dem Euler'schen Satze gegebene Erweiterung }). 
Nehmen wir einen Würfel, der durch halbirende Ebenen parallel zu sei- 
nen Seitenflächen in 8 kleinere Würfel getheilt ist, so haben wir a — 27, 
b= 54, c= 36, d=9, wo a+c=b+d. .Theilen wir ebenso jede 
Würfelseite in » und den Würfel in n3 Theile, so kommt a — (n4 1)8, 
b = 3n(n+1)?, c= 3nn(n+1) und d— n®+1 wo gleichfalls (n41)3 
+ 3nn(n+1) = 3n (n+1)?+n3+1. 
In einem Oktaöder, durch innere Flächen. in 8 dreiseilige Pyramiden zer- 
legt, deren Spitzen in einem beliebigen i inneren Punkte liegen, während je eine 
ihre, Basis in einer Oktaöderfläche findet, sind 7 Punkte, 18 Linien, 20 Flächen, und 
ausser dem Amplexum 8 tetraëdrische Räume, und 7+20 = 18+8+1. 
In einem bloss von Dreiecken umschlossenen Polyöder, wie Tetraöder, 
Oktaöder, Ikosaöder, findet sich die Zahl der Punkte und Linien aus der Zahl 
der Flächen mittelst des 4. der obigen Sätze‘ (s. Art. 33): Da nämlich in 
1) Journal de l'Ecole- polytechnique (16. cahier) Tome IX. pag. 77. ei- die Anm. 
in der Einleitung so wie Anm. zu Art. 18. ua 
