DER CENSUS RÄUMLICHER COMPLEXE. 149 
k—l4+m = 2 jetzt offenbar 3m — U wird, so erhält man k — 2+1im und 
!= ĝm. (Die Flächenzahl kann in diesem Falle nur eine gerade Zahl sein). 
Zieht man nun von einem Punkte im Innern des von m Dreiecken begrenzten 
Polyöders gerade Linien nach sämmtlichen % Eckpunkten und theilt das Po- 
Iyöder in m dreiseitige Pyramiden nach Art des vorigen Falles, so erhält man 
k+1 Punkte, Z+% Linien, m+? Flächen und m+1 Räume (einschliesslich des 
Amplexums). ‘Es ist also a = 3+4m, b = 2+2m, c = gm, d—=m+1 und 
a—b+c-d=0. Für m = 8, wie im vorigen Falle wird a = 7, b = 18, 
c = 20, d=9, wie vorher. Für das Tetraöder wird a—=5, b= 10, c= 10, 
d=5, für das Ikosaëder a = 13, b=42, c = 50, d— 21. Für einen 
von 16 Dreiecken begrenzten polyödrischen Körper, wie er aus Fig. 37 her- 
vorgehen würde, wenn man die beiden fünfeckigen Grenzflächen durch je 
zwei Diagonalen in Dreiecke zerlegte, ist in dem den vorigen analogen Falle 
der Zerlegung in 16 dreiseitige Pyramiden a= 11, 5=34, e—40, d= 17. 
Aber auch jedes gewöhnliche Polyeder, seine m Seitenflächen mögen 
Dreiecke sein oder nicht, gibt durch die Zerlegung in m Pyramiden mit ge- 
meinschaftlicher Spitze im Innern des Körpers, wenn k die Zahl der Ecken 
und Z der Kanten des unzerlegten Polyöders, wie vorher, a= k41, b =l+k, 
e—=m+Iiund d=m+1 und es ist wiederum a+c = b+ d: 
2. Es sind im Raume » Kugeln ausser einander liegend gegeben, auf 
jeder Kugelfläche ein effectiver Punkt. Alle diese » Punkte sind mit einem 
einzigen n+ ten Punkte, der ausserhalb jeder Kugel liegt durch beliebige 
Linien, deren keine sich selbst kreuzt, verbunden. Dieser Complex hat n+1 
Punkte, » Linien, n Flächen und »+4 Räume, also a+e=b+d. Setzte 
man in beliebig vielen der Kugeln noch eine Verbindungslinie zwischen ihrem 
Mittelpunkte und dem effectiven Punkte ihrer Oberfläche hinzu, so würde da- 
durch die Zahl æ und die Zahl 5 um gleichviel vergrössert. 
3. Zwei Systeme concentrischer- Kugeln, Fig. 56, das eine », das an- 
dere x Kugeln enthaltend, berühren sich von aussen in einem eflectiven 
Punkte, welcher der Fläche der grössten Kugel in jedem Systeme angehört. 
Dieser Berührungspunkt ist in jedem System durch eine, jede‘ umschlossene 
Kugel nur in Einem Punkte durchdringende Linie mit dem Mittelpunkt des 
Systems verbunden. Dieser Complex, dessen Constituenten alle acyklodisch 
